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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Di 08.07.2014 | | Autor: | Qight |
| Aufgabe | i) Sei J [mm] \subset \IR [/mm] ein kompaktes Intervall und sei I [mm] \subset [/mm] (-1,1) ein abgeschlossenes Intervall. Zeigen Sie, dass die Reihe
[mm] R_s(x) = \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{s \\ n}*x^{n} [/mm]
absolut und gleichmäßig für x [mm] \in [/mm] I und s [mm] \in [/mm] J konvergiert.
ii) Zeigen Sie, dass für alle s [mm] \in \IR [/mm] und x [mm] \in [/mm] (-1,1)
[mm] R_s(x) := \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{s \\ n}*x^{n} = (1+x)^{s} [/mm]
gilt.
iii) Weche Formel ergibt sich für [mm] s = -1 [/mm] und [mm] x = -y [/mm] ? |
Mein Ansatz zu i)
Quotientenkriterium:
[mm] | \bruch{\bruch{s!}{(n + 1)! * (s - n + 1)!}*x^{n+1}}{\bruch{s!}{n! * (s - n)!} * x^{n}} | = | \bruch{\bruch{1}{(x + 1)!} * \produkt_{j=0}^{k}(s - j)}{\bruch{1}{k!} * \produkt_{j=0}^{k-1} (s - j)} | * |x| = | \bruch{s - n}{n + 1} | * |x| [/mm]
Zu ii) Das sieht wie die der binomische Lehrsatz aus. Oder irre ich mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Di 08.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> i) Sei J [mm]\subset \IR[/mm] ein kompaktes Intervall und sei I
> [mm]\subset[/mm] (-1,1) ein abgeschlossenes Intervall. Zeigen Sie,
> dass die Reihe
>
> [mm]R_s(x) = \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{s \\ n}*x^{n}[/mm]
>
>
>
> absolut und gleichmäßig für x [mm]\in[/mm] I und s [mm]\in[/mm] J
> konvergiert.
>
> ii) Zeigen Sie, dass für alle s [mm]\in \IR[/mm] und x [mm]\in[/mm] (-1,1)
>
> [mm]R_s(x) := \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{s \\ n}*x^{n} = (1+x)^{s}[/mm]
>
> gilt.
>
> iii) Weche Formel ergibt sich für [mm]s = -1[/mm] und [mm]x = -y[/mm] ?
> Mein Ansatz zu i)
>
> Quotientenkriterium:
>
> [mm]| \bruch{\bruch{s!}{(n + 1)! * (s - n + 1)!}*x^{n+1}}{\bruch{s!}{n! * (s - n)!} * x^{n}} | = | \bruch{\bruch{1}{(x + 1)!} * \produkt_{j=0}^{k}(s - j)}{\bruch{1}{k!} * \produkt_{j=0}^{k-1} (s - j)} | * |x| = | \bruch{s - n}{n + 1} | * |x|[/mm]
Für n [mm] \to \infty [/mm] hat obiger Bruch den Grenzwert |x|.
I war ein kompaktes Intervall in (-1,1), also gibt es ein c [mm] \in [/mm] (0,1) mit
|x| [mm] \le [/mm] c für alle x [mm] \in [/mm] I.
Für x [mm] \in [/mm] I hat also obiger Bruch einen Grenzwert < c<1.
Damit konvergiert die Reihe absolut für s [mm] \in [/mm] J und x [mm] \in [/mm] I.
Die glm. Konvergenz musst Du noch zeigen !
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> Zu ii) Das sieht wie die der binomische Lehrsatz aus. Oder
> irre ich mich?
Ja, das ist eine Verallgemeinerung dieses Satzes
FRED
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Für nichtnegative ganzzahlige [mm]s[/mm] ist die Rechnung nicht durchführbar, denn fast alle Binomialkoeffizienten verschwinden dann. In diesem Fall muß man daher anders argumentieren.
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