Binomialverteilung - Bernoulli < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Mi 11.05.2011 | | Autor: | eistee03 |
| Aufgabe | In einer Urne befinden sich 7 schwarze und 13 weisse Kugeln.
a) Wie wahrscheinlich ist es, dass von 4 mit Zurücklegen gezogenen Kugeln eine schwarz und drei weiss sind?
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 5 mit Zurücklegen gezogenen Kugeln drei oder mehr weiss sind?
c) Ab welcher Anzahl von Ziehungen (mit Zurücklegen) ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur weisse Kugeln gezogen werden, kleiner als 10%? |
Guten Abend!
Wir haben heute im Matheunterricht mit der Binomialverteilung angefangen, soweit sogut. Ich habe das Thema und anfangs die 'leichten' Aufgaben noch gut gemeistert. An dieser Aufgabe scheitere ich.
Meine Lösungen und Lösungsansaetze:
a) n = 4 (Kettenlaenge)
p = [mm] \bruch{7}{20}
[/mm]
Treffer: eine schwarze Kugel
Rechnung:
P(X=1) = [mm] \vektor{4 \\ 1} [/mm] * [mm] \bruch{7}{20}^1 [/mm] * [mm] \bruch{13}{20}^3
[/mm]
= 4 * [mm] \bruch{7}{20} [/mm] * [mm] \bruch{2197}{8000}
[/mm]
= 0,3845 = 38,45 %
Bei der Teilaufgabe a hatte ich soweit keine Probleme.
Teil b:
n = 5
p = [mm] \bruch{13}{20}
[/mm]
Treffer: weisse Kugel
P(X>3) = 1 - P(X<2)
= 1 - [mm] ((P(X)=0)\p [/mm] (P(X)=1) [mm] \p [/mm] (P(X)=2))
= 1 - [ [mm] (\vektor{5 \\ 0} [/mm] * [mm] \bruch{13}{20}^0 [/mm] * [mm] \bruch{7}{20}^5) [/mm] + [mm] (\vektor{5 \\ 1} [/mm] * [mm] \bruch{13}{20}^1 [/mm] * [mm] \bruch{7}{20}^4) [/mm] + [mm] (\vektor{5 \\ 2} [/mm] * [mm] \bruch{13}{20}^2 [/mm] * [mm] \bruch{7}{20}^3)]
[/mm]
Ich habe diese Rechnung einige Male gerechnet, aber die Wahrscheinlichkeit ist sehr klein, sodass ich nicht glaube das es die Richtige ist.
Teil c:
Ich denke das von Anfang an ab der ersten Ziehung die 10% feststehen müssen, da die Ziehungen mit Zurücklegen sind und dies nichts an der Wahrscheinlichkeit aendert wenn man 1 mal zieht oder wenn man 4 mal zieht. Ich weiss nicht genau was ich rechnen muss!
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Danke fürs lesen.
Grüsse, eistee
|
|
| |
|
Hallo,
a).
Das hast du richtig, es sind jedoch Schreibfehler bei den Potenzen (du musst hier Klammern setzen):
[mm] P(X=1)=\vektor{4 \\ 1}*(7/20)^1*(13/20)^3\approx [/mm] 0.384
b).
Bei b ist dein Ansatz richtig. Es kommt jedoch eine relativ hohe Wahrscheinlichkeit heraus (etwas mehr als 75%). Frage: besitzt du eine Tabelle für die kumulierte Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung oder ein CAS, welches das drauf hat?
c).
Hier braucht man keine Verteilungsfunktion. Da die Wahrscheinlichkeiten immer gleich bleiben, gilt es ja nur, die Ungleichung
[mm] (13/20)^n<0.1
[/mm]
zu lösen.
Hilft dir das weiter?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mi 11.05.2011 | | Autor: | eistee03 |
Danke für die schnelle Antwort!
zu b:
Bei mir kam auch etwas um den dreh raus.
Ich habe leider noch nie etwas von einer kumulierten Wahrscheinlichkeitsfunktion noch von einem CAS gehört. Das sagt mir leider nichts.
zu c:
Ja die Ungleichung wird mir weiterhelfen! Darauf bin ich garnicht gekommen! Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
hier etwas zur Problematik der Berechnung binomialverteilter Wahrscheinlichkeiten der Form P(X<=k):
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung
Ganz am Ende gibt es eine Pdf-Datei mit einer solchen Tabelle.
CAS:=Computer-Algebra-System. Die meisten beherrschen die Binomialverteilung ebenfalls (auch moderne GTR können das i.d.R.).
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Fr 12.06.2015 | | Autor: | Lena410 |
Ich hab ne Frage, wie ist die Ungleichung von [mm] (13/20)^n<0.1 [/mm] ich versteh das nicht!?
Bzw. Wie komme ich auf "n" ohne ausprobieren.> Hallo,
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Fr 12.06.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ich hab ne Frage, wie ist die Ungleichung von [mm](13/20)^n<0.1[/mm]
> ich versteh das nicht!?
Was genau ist denn unklar?
Du brauchst nur weisse Kugeln, die Wahrscheinlichkeit dazu ist [mm] \frac{13}{20} [/mm] pro Zug.
Und das ganze eben n-mal, also bekommst du dann
[mm] \left(\frac{13}{20}\right)^{n}<0,1
[/mm]
> Bzw. Wie komme ich auf "n" ohne ausprobieren.>
Durch Logarithmieren
[mm] \left(\frac{13}{20}\right)^{n}<0,1
[/mm]
wird, nach der Anwendung des Logarithmusses zur Basis [mm] \frac{13}{20} [/mm] zu
[mm] n<\log_{\frac{13}{20}}(0,1)\approx5,35
[/mm]
Ab dem 6 Zug ist die Wahrscheinlichkeit also kleiner als die 0,1
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Fr 12.06.2015 | | Autor: | Lena410 |
Achso, ja klar, nur ich wusste nicht wie man n einzeln stehen hat :)
Danke
|
|
|
|
