Binomialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für [mm] j\in\IN [/mm] seien die Zufallsvariablen [mm] X_{j} [/mm] hypergeometrisch verteilt mit Parametern n, [mm] R_{j} [/mm] und [mm] N_{j}.
[/mm]
Hierbei gelte [mm] N_{j}\to\infty [/mm] sowie [mm] R_{j}/N_{j}\to p\in(0,1) [/mm] für [mm] j\to\infty. [/mm] Zeigen Sie, dass für [mm] 0\le r\le [/mm] n gilt
[mm] \limes_{j\rightarrow\infty} [/mm] P( [mm] X_{j} [/mm] = r) = [mm] \vektor{n \\ r} p^{r}(1-p)^{n-r} [/mm] |
So habe dann wie folgt angefangen
[mm] \limes_{j\rightarrow\infty} [/mm] P( [mm] X_{j} [/mm] = r) = [mm] \limes_{j\rightarrow\infty} \bruch{\vektor{n \\ r}\vektor{N_{j} - R_{j} \\ n-r}}{\vektor{N_{j} \\ n}}
[/mm]
[mm] =\vektor{n \\ r}\limes_{j\rightarrow\infty} \bruch{\vektor{N_{j} - R_{j} \\ n-r}}{\vektor{N_{j} \\ n}}
[/mm]
Soweit bin ich gekommen habe jetzt einiges probiert mit dem Binomialkoeffizient aber nichts hat mich in irgendeiner Weise in Richtung des Ergebnisses gebracht
Wie geht es nun weiter?
lg eddie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Do 17.11.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] \limes_{j\rightarrow\infty} \bruch{\vektor{n \\ r}\vektor{N_{j} - R_{j} \\ n-r}}{\vektor{N_{j} \\ n}} [/mm] $
Du vermischt hier die 2 Möglichkeiten (von wikipedia, deswegen die andere Nomenklatur)
$h(k|N;M;n)=h(k|N;n;M)= [mm] \frac{{M \choose k}{N-M \choose n-k}}{{N \choose n}}= \frac{{n \choose k}{N-n \choose M-k}}{{N \choose M}}$
[/mm]
Vorteilhafter ist die 2. Mit Deinen Bezeichnungen ergibt das
$ [mm] \limes_{j\rightarrow\infty} \bruch{\vektor{n \\ r}\vektor{N_{j} - n \\ R_j-r}}{\vektor{N_{j} \\ R_j}} [/mm] $
[mm] ${n\choose r}$ [/mm] kannst Du rausziehen, das hast Du schon gemacht, jetzt gruppierst Du auch noch
$ [mm] \vektor{n \\ r} \limes_{j\rightarrow\infty} \bruch{\,\frac{R_j!}{(R_j-r)!}\,}{\frac{N_j!}{(N_j-r)!}} *\text{andere Terme}$
[/mm]
(dazu mußt Du mit [mm] $(N_j-r)!$ [/mm] erweitern).
zu zeigen ist jetzt:
1.
[mm] $\bruch{\,\frac{R_j!}{(R_j-r)!}\,}{\frac{N_j!}{(N_j-r)!}}\ \rightarrow p^r$
[/mm]
2.
die anderen Terme gehen gegen [mm] $(1-p)^{n-r}$
[/mm]
ciao
Stefan
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Okay hab ich alles gemacht und verstehe auch wie man auf [mm] p^{r} [/mm] kommt aber den Restterm bekomme ich nicht hin habe übrig
[mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\bruch{(N_{j}-R_{j})!}{(N_{j}-r)!(N_{j}-R_{j}-n+r)!}
[/mm]
Hier sehe ich nicht wie ich auf [mm] (1-p)^{n-r} [/mm] komme
lg eddie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Do 17.11.2011 | | Autor: | Blech |
> $ [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\bruch{(N_{j}-R_{j})!}{(N_{j}-r)!(N_{j}-R_{j}-n+r)!} [/mm] $
Wenn da nicht das [mm] $(N_j-n)!$ [/mm] aus dem rechten oberen Binkoeff verschwunden wäre, dann ginge es viel einfacher.
ciao
Stefan
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