Binomialkoeffizienten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mi 02.11.2005 | | Autor: | roxy |
Hallo zusammen,
hab eine Frage bezüglich der Binomialkoeffizienten, u.z. sollte folgende Identität bewiesen werden:
[mm] {n \choose k} [/mm] +[mm] {n+1 \choose k+1} [/mm]+...+[mm] {n+l \choose k+l} [/mm]= [mm] {n+l+1 \choose k+l} [/mm]-[mm] {n \choose k-1} [/mm]
ich habe versucht den Symetriesatz anzuwenden, aber irgendwie dreh ich mich im Kreis...kann mir jemand ein Tipp geben, wo ich anfangen soll?
Vielen Dank,
roxy
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Hallo roxy!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> hab eine Frage bezüglich der Binomialkoeffizienten, u.z.
> sollte folgende Identität bewiesen werden:
>
> [mm]{n \choose k}[/mm] +[mm] {n+1 \choose k+1} [/mm]+...+[mm] {n+l \choose k+l} [/mm]=
> [mm]{n+l+1 \choose k+l} [/mm]-[mm] {n \choose k-1}[/mm]
statt diese Gleichung zu zeigen, können wir auch
[mm]{n \choose k-1} + {n \choose k} + {n+1 \choose k+1} + \ldots + {n+l \choose k+l} = {n+l+1 \choose k+1}[/mm] beweisen. Und das geht mit der wichtigen Identität
[mm]{n \choose k-1} + {n \choose k} = {n+1 \choose k}[/mm], die man sich mit dem Pascalschen Dreieck gut merken kann.
Also los gehts:
[mm]\underbrace{{n \choose k-1} + {n \choose k}} + {n+1 \choose k+1} + \ldots + {n+l \choose k+l} =[/mm]
[mm]\underbrace{{n+1 \choose k} + {n+1 \choose k+1}} + {n+2\choose k+2} \ldots {n+l \choose k+l}=[/mm]
[mm]\underbrace{{n+2 \choose k+1} + {n+2 \choose k+2}} \ldots {n+l \choose k+l}=[/mm]
[mm]\vdots[/mm]
[mm]={n+l \choose k+l-1} + {n+l \choose k+l} = {n+l+1 \choose k+l}[/mm]
mfg
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Do 03.11.2005 | | Autor: | roxy |
Hallo Daniel,
vielen Dank für Deine Hilfe. Als ich den Beweis vor mir hatte, war plötzlich alles sehr einfach  und konnte es auch für die nächste Aufgabe anwenden! Naja, Übung macht den Meister...nochmals vielen Dank!
roxy
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