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| Aufgabe | Gegeben sind folgende Werte:
n = 5
k = 2
Das Ergebnis wäre dann [mm] \vektor{5\\2} [/mm] = 10
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Wenn jetzt eine andere Aufgabe kommt, bei der auch andere Werte gegeben sind und bei der ich nun n ausrechnen muss, wie mache ich das ?
Die dazugehörige Formel müsste doch diese sein oder ?
[mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
Wenn ich nun n ausrechnen muss.
Wie mache ich das ?
Vielen Dank im Voraus !
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> Gegeben sind folgende Werte:
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> n = 5
> k = 2
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> Das Ergebnis wäre dann [mm]\vektor{5\\2}[/mm] = 10
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> Wenn jetzt eine andere Aufgabe kommt, bei der auch andere
> Werte gegeben sind und bei der ich nun n ausrechnen muss,
> wie mache ich das ?
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> Die dazugehörige Formel müsste doch diese sein oder ?
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> [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
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> Wenn ich nun n ausrechnen muss.
> Wie mache ich das ?
>
> Vielen Dank im Voraus !
Hallo!
was soll denn genau gegeben sein? Hast du eine entsprechende konkrete Aufgabenstellung?
Da die Funktion [mm]B(n,k) = \vektor{n \\ k} [/mm] nur für natürliche Zahlen definiert ist und nur diskrete natürliche Werte annimmt, ist die Gleichung B(x,k)= y nur für ganz bestimmte y-Werte überhaupt lösbar. Zudem gibt es meines Wissens keine Lösungsformel, die x durch k und y auf einfache Weise ausdrückt.
Im wesentlichen bleiben also wohl nur Probiermöglichkeiten...
Gruss Al-Ch.
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Es steht eine Mathe Klausur bevor.
Bisher haben wir Aufgaben von dem wie von mir oben benannten Typ berechnet.
Nun meinte unser Lehrer, dass wir in der Klasur auch eine Aufgabenstellung bekommen in der wir n berechnen müssen mit Hilfer dieser Formel:
[mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
Was stellt Ihr euch darunter vor ?
Danke !
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> Nun meinte unser Lehrer, dass wir in der Klasur auch eine
> Aufgabenstellung bekommen in der wir n berechnen müssen mit
> Hilfer dieser Formel:
> [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
>
> Was stellt Ihr euch darunter vor ?
>
Schade, dass du kein konkretes Beispiel vorschlägst. Also machen wir eines - ich weiss aber nicht sicher, ob euer Lehrer sich wirklich so etwas vorgestellt hat. Betrachten wir zum Beispiel die Frage:
Für welchen Wert (oder welche Werte) von n gilt die Gleichung [mm]\vektor{n \\ 7}=120[/mm] ?
Mittels der Formel ausgeschrieben würde dies bedeuten:
[mm]\bruch{n!}{7! (n-7)!}}=120[/mm]
oder
[mm]\bruch{n(n-1)(n-2).....(n-6)}{5040}}=120[/mm]
Dies ergäbe ausmultipliziert die Gleichung
[mm] n^7 [/mm] - 21 [mm] n^6 [/mm] + 175 [mm] n^5 [/mm] -735 [mm] n^4 [/mm] +1624 [mm] n^3 [/mm] - 1764 [mm] n^2 [/mm] +720 n - 604800 = 0
Viel Spass beim Auflösen!
Aber ich denke nicht, dass euer Lehrer dermassen sadistisch veranlagt ist.
Ich könnte mir nun aber vorstellen, dass er eine analoge Aufgabe mit kleineren Zahlen durchaus ins Auge fassen könnte. Versuch doch zum Training einmal die folgenden Gleichungen nach n aufzulösen:
1.) [mm]\vektor{n \\ 2}=55[/mm]
2.) [mm]\vektor{n \\ 2}=2701[/mm]
3.) [mm]\vektor{n \\ 3}=35[/mm]
Die ersten 2 Beispiele sollten jedenfalls zu schaffen sein, das dritte ebenfalls, falls dir "kubische Gleichung" kein Fremdwort ist.
Tipp: Falls Aufgaben mit Diagonalen in Vielecken, Anzahl Schnittpunkte von n Geraden etc. vorgekommen sind, dann schau dir diese nochmals an.
In der Hoffnung, eurem verehrten Lehrer auf die Schliche gekommen zu sein, zeichne ich untertänigst:
Al-Chwarizmi
Hofmathematiker des Kalifen Al-Ma'mun
N.B. Berichte mir doch bitte nach dem Test, ob ich mit meiner Vermutung richtig lag...
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Ja, ich denke das wird der Aufgabentyp sein den sie meint.
Aber ich verstehe noch nicht ganz wie du auf die ausmultiplizierte Gleichung kommst, ganz besonders wie du auf die Zahlenwerte 21, 175- 735... kommst.
Kannst du mir das bitte nochmal erklären :_) ?
Danke !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:17 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Meister!
Das ist eine ausschließliche Fleißaufgabe, diese 7 Terme miteinander auszumultiplizieren.
Poste doch mal, wie weit Du kommst ...
Gruß
Loddar
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Ich habe das Polynom nicht von Hand ausmultipliziert, sondern mit dem CAS-Rechner (voyage200)
Mit dem Auflösen der entstandenen Gleichung 7. Grades hatte dann sogar der seine liebe Mühe...
Ich habe nicht erwartet, dass du das im einzelnen nachrechnen sollst. Halte dich an meine früher vorgeschlagenen einfacheren Beispiele, wo es nur quadratische oder eine kubische Gleichung gibt. Alles wesentliche siehst du dort auch.
Al-Ch.
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Also das n ja immer um 1 erniedrigt wird ist mir klar.
Ich verstehe bloß nicht was du gerechnet hast um auf die Zahlenwerte von z.B. -21 oder + 175 zu kommen.
Muss ich dort etwas in der Gleichung des Binomialkoeffizienten umstellen ?
Wäre super wenn mir jemand Schritt für Schritt erklären könnte, was er rechnet.
Danke !
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Meister1412
$ \bruch{n!}{7! (n-7)!}=120 $
$ \bruch{n(n-1)(n-2).....(n-6)}{5040}}=120 $
Also darf ich annehmen, dass du gesehen hast, wie man den ersten der
obigen Ausdrücke kürzen kann und dann den zweiten bekommt ?
Nachher erweitert man das ganze mit dem Nenner [mm] 7! = 5040 [/mm] und
landet bei der Gleichung:
$ n(n-1)(n-2).....(n-6) \ =\ 120 * 5040\ [mm] =\ [/mm] 604800 $
Nun müsste man die linke Seite ausmultiplizieren, also etwa:
$ [mm] (n^2-n)(n-2).....(n-6) [/mm] \ =\ 120 * 5040\ [mm] =\ [/mm] 604800 $
$ [mm] (n^3-3n^2+2n)(n-3).....(n-6) [/mm] \ =\ 120 * 5040\ [mm] =\ [/mm] 604800 $
und so weiter immer eine Klammer mehr reinmultiplizieren.
Das ist von Hand unangenehm, deshalb nahm ich dazu den Rechner.
Am Ende wird daraus die angegebene Gleichung
(*) $ [mm] n^7 [/mm] - 21\ [mm] n^6 [/mm] + 175\ [mm] n^5 [/mm] -735\ [mm] n^4 [/mm] +1624\ [mm] n^3 [/mm] - 1764\ [mm] n^2 [/mm] +720\ n - 604800 = 0 $
Dies ist im weiteren nicht furchtbar interessant...
Nur zu drei der vorkommenden Zahlen eine kleine Anmerkung:
[mm] -21 = (-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)+(-6) [/mm]
[mm] 175= ((-1)*(-2))+ ((-1)*(-3))+ ((-1)*(-4))+......+ ((-4)*(-5))+ ((-4)*(-6))+ ((-5)*(-6)) [/mm] (alle möglichen Paare)
[mm] 120 = (-1)*(-2)*(-3)*(-4)*(-5)*(-6) [/mm]
Im konkreten Fall hätte die Gleichung (*) die Lösung [mm] n = 10 [/mm] (kannst du wenn du willst nachrechnen).
Für die Auflösung der Gleichung siebten Grades gibt es aber gar kein einfaches "Rezept" - also nimm lieber die einfacheren Beispiele...
Al-Ch.
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