Binom negativer Exponent < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Urbain |
| Aufgabe | | [mm] (x+dx)^{-2} [/mm] |
Hallo,
ich arbeite mich gerade durchs Buch Calculus Made Easy von Silvanus Thompson. Da vereinfacht er das Binom in einem Beispiel auf folgende Weise:
[mm] (x+dx)^{-2}
[/mm]
[mm] =x^{-2}(1+\bruch{dx}{x})^{-2}
[/mm]
Ich komm einfach nicht dahinter wie er da umgeformt hat. Mein einziger Ansatz wäre folgender gewesen:
[mm] (x+dx)^{-2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{(x+dx)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{x^{2}+2x\*dx+(dx)^{2}}
[/mm]
Aber weiter komme ich damit scheinbar auch nicht. Für jeden Tipp bin ich sehr dankbar.
Vielen Dank für eure Zeit.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> [mm](x+dx)^{-2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich arbeite mich gerade durchs Buch Calculus Made Easy von
> Silvanus Thompson. Da vereinfacht er das Binom in einem
> Beispiel auf folgende Weise:
>
> [mm](x+dx)^{-2}[/mm]
> [mm]=x^{-2}(1+\bruch{dx}{x})^{-2}[/mm]
>
> Ich komm einfach nicht dahinter wie er da umgeformt hat.
> Mein einziger Ansatz wäre folgender gewesen:
>
> [mm](x+dx)^{-2}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{(x+dx)^{2}}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{x^{2}+2x\*dx+(dx)^{2}}[/mm]
>
> Aber weiter komme ich damit scheinbar auch nicht. Für
> jeden Tipp bin ich sehr dankbar.
Beide Varianten sind richtig, insbesondere auch deine. Man kann das so ohne Kontext nicht so ganz bewerten, aber ich denke, dass es dem Autor darum geht, irgendetwas sinnvolles mit dem Differential anzustellen (integrieren?). Daher holt er das x aus der Klammer heraus. Wegen dem Potenzgesetz
[mm] (a*b)^q=a^q*b^q
[/mm]
kommt selbiges als [mm] x^{-2} [/mm] außerhalb der Klammer an. In der Klammer sollte klar sein, was da passiert (wie gesagt: es wurde der Faktor x herausgehoben).
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Mi 23.07.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm](x+dx)^{-2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich arbeite mich gerade durchs Buch Calculus Made Easy von
> Silvanus Thompson. Da vereinfacht er das Binom in einem
> Beispiel auf folgende Weise:
>
> [mm](x+dx)^{-2}[/mm]
> [mm]=x^{-2}(1+\bruch{dx}{x})^{-2}[/mm]
>
> Ich komm einfach nicht dahinter wie er da umgeformt hat.
> Mein einziger Ansatz wäre folgender gewesen:
>
> [mm](x+dx)^{-2}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{(x+dx)^{2}}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{x^{2}+2x\*dx+(dx)^{2}}[/mm]
>
> Aber weiter komme ich damit scheinbar auch nicht.
Diophant hat dir ja schon bestätigt, dass dein Weg korrekt ist.
Klammere nun mal x² im Nenner aus, dann kommst du auf
[mm] \frac{1}{x^{2}\cdot\left(1+\frac{2dx}{x}+\left(\frac{dx}{x^{2}}\right)^{2}\right)}
[/mm]
Nun kannst du das auseinanderziehen
[mm] \frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{1}{1+\frac{2dx}{x}+\left(\frac{dx}{x^{2}}\right)^{2}}
[/mm]
Im hinteren Bruch taucht nun wieder die Binomische Formel auf
[mm] \frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{1}{\left(1+\frac{dx}{x}\right)^{2}}
[/mm]
Den nun noch letzten Schritt schaffst du sicher wieder selber 
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Do 24.07.2014 | | Autor: | Urbain |
Hallo,
vielen Dank für eure hilfreichen Antworten. Ich hab nicht darauf geachtet, dass man auch Faktoren herausheben kann, die eigentlich nicht in der Summe enthalten sind
(a+b) = [mm] n(\bruch{a}{n}+\bruch{b}{n})
[/mm]
Mit diesem Wissen konnte ich dann das Beispiel nachvollziehen, auch wenn ich vielleicht die binomische Formel die später entsteht, nicht gleich gesehen habe.
Eine Frage habe ich allerdings. Wenn man [mm] x^{2} [/mm] aus
[mm] x^{2}+2x\*dx+(dx)^{2}
[/mm]
heraushebt, erhält man dann nicht
[mm] x^{2}(1+\bruch{2dx}{x}+(\bruch{dx}{x})^{2})
[/mm]
Bei dir stand da das [mm] x^{2} [/mm] noch im Nenner des letzten Bruchs. Falls dem nicht so ist, kannst du mir erklären wieso?
Ansonsten würde ich im letzten Schritt dann noch die Nenner nach oben bringen denn [mm] \bruch{1}{n}=n^{-1}, [/mm] also:
[mm] x^{-2}(1+\bruch{dx}{x})^{-2}
[/mm]
Nun habe ich allerdings wieder eine binomische Formel mit negativem Exponenten. Kann man die auflösen, ohne das ganze wieder in den Nenner eines Bruchs zu schieben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Urbain |
Ich kann hier mal aufschreiben, wie es in meinem Buch steht. Ich glaub der Autor löst das mit der allgemeinen binomischen Reihe nach Newton. Zumindest ist es das was ich mit Google herausgefunden habe, ich verstehe allerdings die Erklärungen nicht und in meinen Mathebüchern für die Oberstufe steht das auch nicht drin. Ich schreibs euch mal auf:
[mm] y+dy=(x+dx)^{-2}
[/mm]
[mm] y+dy=x^{-2}(1+\bruch{dx}{x})^{-2}
[/mm]
"Diesen Ausruck entwickeln wir nach dem Binomischen Lerhsatz und erhalten"
[mm] y+dy=x^{-2}[1-2\bruch{dx}{x}+\bruch{2(2+1)}{1,2}(\bruch{dx}{x})^{2}-...]
[/mm]
Letztlich erklärt er die Potenzregel, indem er dann alle Potenzen und Produkte mit Potenzen von dx höher als 1 streicht und dann durch dx dividiert. Diesen Teil verstehe ich auch, nur die Anwendung des Binomischen Lehrsatzes verstehe ich nicht.
Am Ende erhält man als Differenzialquotienten:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] -2x^{-3} [/mm] für [mm] y=x^{-2}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Fr 25.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das scheint mir eine komplizierte Art [mm] x^{-2} [/mm] abzuleiten.
den binomischen Lehrsatz für nivht natürliche Exponenten brauchst du nicht, wenn du statt dessen Polynomdivision
machst. nachdem du im Nenner [mm] x^2 [/mm] ausgeklammert hast.
also [mm] 1:(1+2dx/x+(dx)^2(x^2)
[/mm]
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 So 27.07.2014 | | Autor: | Urbain |
Ich versuchs dann mit der Polynomdivision, vielen Dank für den Hinweis. Ich hab das schon gemacht vor längerer Zeit, aber schon wieder vergessen. Ich schau mir mal an wie das funktioniert hat. Eine Frage habe ich aber noch dazu. Wieso klammere ich [mm] x^{2} [/mm] aus? Kann ich die Polynomdivision nicht auch durchführen wenn
[mm] 1:x^{2}+2x*dx+(dx)^{2}
[/mm]
gegeben ist? Und wenn ich [mm] x^{2} [/mm] aus [mm] x^{2}+2x*dx+(dx)^{2} [/mm] ausklammere erhalte ich dann nicht folgendes:
[mm] (1+\bruch{2dx}{x}+(\bruch{dx}{x})^{2})*x^{2}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 So 27.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
da in deinem Bsp [mm] x^2 [/mm] ausgeklammert ist, würde ich es direkt ausklammern und dann dividieren, aber es sollte sonst keinen Unterschied machen.
wenn dus nicht mehr kannst, siehe
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/polynomdivision.htm
gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Di 29.07.2014 | | Autor: | Urbain |
Also ich weiß jetzt wie man eine Polynomdivision durchführt. Allerdings nur mit einer Variablen. Generell sollte das Vorgehen ja mit 2 dasselbe sein. Ich komme aber bei meinem Beispiel nicht weiter.
1 : [mm] (a^{2}+b^{2}+2ab)=
[/mm]
Ich muss hier ja mit dem Polynom höchsten Grads anfangen. Jetzt gibt es hier 2 Polynome desselben Grads. Ich hab einfach mal [mm] a^{2} [/mm] genommen:
1 : [mm] a^{2} [/mm] = [mm] a^{-2}
[/mm]
1 : [mm] (a^{2}+b^{2}+2ab)=a^{-2}
[/mm]
Nun muss ich den Divisor mit [mm] a^{-2} [/mm] multiplizieren. Danach muss ich das ganze von oben abziehen, damit ich den Rest bekomme, um weiterzudividieren. Dabei schreibe ich Polynome desselben Grads untereinander. Hier kann ich dann nichts untereinanderschreiben, weil ich quasi neue Polynome bekomme, die noch nicht vorhanden waren. Müsste ich dann so weitermachen?
1 : [mm] (a^{2}+b^{2}+2ab)=a^{-2}
[/mm]
[mm] (a^{2}+b^{2}+2ab+a^{2-}b^{2}-2a^{-1}b-1
[/mm]
Durch was dividiert man nun? Was ist das Polynom höchsten Grads beim Rest? Und der Rest wird ja bezogen auf die Glieder immer größer? Wie gehts hier weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Di 29.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Also ich weiß jetzt wie man eine Polynomdivision
> durchführt. Allerdings nur mit einer Variablen. Generell
> sollte das Vorgehen ja mit 2 dasselbe sein. Ich komme aber
> bei meinem Beispiel nicht weiter.
>
> 1 : [mm](a^{2}+b^{2}+2ab)=[/mm]
>
> Ich muss hier ja mit dem Polynom höchsten Grads anfangen.
> Jetzt gibt es hier 2 Polynome desselben Grads. Ich hab
> einfach mal [mm]a^{2}[/mm] genommen:
Es gibt hier ja auch mindestens zwei unterschiedliche Möglichkeiten die Division durchzuführen. Du kannst die Terme nach fallenden Potenzen von a oder auch nach steigenden Potenzen von b ordnen.
Abgesehen davon kannst du die Division beliebig lang fortsetzen. Du erhältst damit (unendliche) Reihenentwicklungen des Bruchs. zB:
[mm] $\frac{1}{(a+b)^2}=\summe_{k=0}^{ \infty}{\left((-1)^k*(k+1)*\frac{b^k}{a^{k+2}}\right)}=\frac{1}{a^2}-2*\frac{b}{a^3}+3*\frac{b^2}{a^4}-4*\frac{b^3}{a^5}+-...$
[/mm]
oder auch
[mm] $\frac{1}{(a+b)^2}=\summe_{k=0}^{ \infty}{\left((-1)^k*(k+1)*\frac{a^k}{b^{k+2}}\right)}=\frac{1}{b^2}-2*\frac{a}{b^3}+3*\frac{a^2}{b^4}-4*\frac{a^3}{b^5}+-...$
[/mm]
Was ist das Ziel deiner Polynomdivision?
Gruß RMix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Do 31.07.2014 | | Autor: | Urbain |
Mein Ziel ist es nachvollziehen zu können wie man von
[mm] y+dy=(x+dx)^{-2}
[/mm]
zu
[mm] y+dy=x^{-2}[1-2\bruch{dx}{x}+\bruch{2(2+1)}{1,2}(\bruch{dx}{x})^{2}-...]
[/mm]
[mm] y+dy=x^{-2}-2x^{-3}dx+3x^{-4}(dx)^{2}-4x^{-5}(dx)^{3}+...
[/mm]
kommt.
Vorher wird
[mm] (x+dx)^{-2}
[/mm]
noch in
[mm] x^{-2}(1+\bruch{dx}{x})^{-2}
[/mm]
umgeformt. Diesen Schritt verstehe ich allerdings. Ihr meintet, so wie ich das verstanden habe, dass man einfacher dorthin kommt, indem man eine mit der rechten Seite eine Polynomdivision durchführt. Also:
[mm] y+dy=(x+dx)^{-2}
[/mm]
[mm] y+dy=\bruch{1}{x^{2}+2x*dx+(\bruch{dx}{x})^{2}}
[/mm]
Die Polynomdivision würde also so aussehen:
[mm] 1:(x^{2}+2x*dx+(\bruch{dx}{x})^{2})
[/mm]
Ich hab nur Probleme diese Polynomdivision durchzuführen. Kann mir nicht jemand von euch die ersten beiden Schritte vorrechnen, damit ich den Rest machen kann?
Oder sollte ich stattdessen die Polynomdivision mit dem Polynom durchführen wo [mm] x^{-2} [/mm] bereits herausgehoben wurde? Also:
[mm] 1:(1+\bruch{dx}{x})^{2}
[/mm]
Den Faktor [mm] x^{-2} [/mm] kann ich später einfach wieder dranhängen, sollte ja nichts ändern oder?
Im Endeffekt streicht man dann alle dx mit einer Potenz größer als 1. Übrig bleibt dann:
[mm] y+dy=x^{-2}-2x^{3}dx
[/mm]
Nun wird wird [mm] y=x^{-2} [/mm] abgezogen und durch dx dividiert. Es bleibt der Differenzialquotient:
[mm] \bruch{dy}{dx}=-2x^{-3}
[/mm]
Es wird also erklärt wie man zur Potenzregel bei der Differenzialrechnung kommt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Do 31.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Mein Ziel ist es nachvollziehen zu können wie man von
>
> [mm]y+dy=(x+dx)^{-2}[/mm]
>
> zu
>
> [mm]y+dy=x^{-2}[1-2\bruch{dx}{x}+\bruch{2(2+1)}{1,2}(\bruch{dx}{x})^{2}-...][/mm]
> [mm]y+dy=x^{-2}-2x^{-3}dx+3x^{-4}(dx)^{2}-4x^{-5}(dx)^{3}+...[/mm]
>
> kommt.
>
> Vorher wird
>
> [mm](x+dx)^{-2}[/mm]
>
> noch in
>
> [mm]x^{-2}(1+\bruch{dx}{x})^{-2}[/mm]
>
> umgeformt. Diesen Schritt verstehe ich allerdings. Ihr
> meintet, so wie ich das verstanden habe, dass man einfacher
> dorthin kommt, indem man eine mit der rechten Seite eine
> Polynomdivision durchführt. Also:
>
> [mm]y+dy=(x+dx)^{-2}[/mm]
> [mm]y+dy=\bruch{1}{x^{2}+2x*dx+(\bruch{dx}{x})^{2}}[/mm]
>
> Die Polynomdivision würde also so aussehen:
>
> [mm]1:(x^{2}+2x*dx+(\bruch{dx}{x})^{2})[/mm]
>
Warum, wir waren doch schon bei
[mm] $y+dy=x^{-2}*\green{\left(1+\frac{dx}{x}\right)^{-2}}$
[/mm]
Also führe die Polynomdivision nur für den grün markierten Ausdruck durch.
Es ist (mit [mm] $a=\frac{dx}{x}$)
[/mm]
[mm] $1:\left(1+2a+a^2\right)=1-2a+3a^2-4a^3+-...$
[/mm]
und damit hast du genau den Ausdruck, der in dem Buch angeben ist.
Gruß RMix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Fr 01.08.2014 | | Autor: | Urbain |
> Warum, wir waren doch schon bei
>
> [mm]y+dy=x^{-2}*\green{\left(1+\frac{dx}{x}\right)^{-2}}[/mm]
>
> Also führe die Polynomdivision nur für den grün
> markierten Ausdruck durch.
> Es ist (mit [mm]a=\frac{dx}{x}[/mm])
>
> [mm]1:\left(1+2a+a^2\right)=1-2a+3a^2-4a^3+-...[/mm]
>
> und damit hast du genau den Ausdruck, der in dem Buch
> angeben ist.
>
> Gruß RMix
Genau bei diesem Schritt komme ich eben nicht weiter. Ich hab die Polynomdivision so gelernt, dass man nur dann dividieren kann, wenn der Grad des Polynoms mit der höchsten Potenz im Divisor größer/gleich dem im Dividenden ist. Ist das nicht der Fall, hat man den Rest der Division. Als Beispiel:
[mm] (2x^{2}-5x+3):(2x+1)=x-3+\bruch{6}{2x+1}
[/mm]
Wobei die 6 im Zähler des Bruchs eben der Rest der Polynomdivision ist, weil 2x nicht mehr in 6 passt.
Bei der gefragen Polynomdivision passt ja das Polynom mit dem höchsten Grad [mm] a^{2} [/mm] nicht in die 1 hinein oder? Nach der Regel ist die Polynomdivision ja nicht durchführbar. Ich meine ich weiß, dass man wenn man [mm] a^{2} [/mm] mit [mm] a^{-2} [/mm] multipliziert man auf die 1 kommt, aber [mm] a^{-2} [/mm] kommt ja im Ergebnis nicht vor, deswegen wird das ja nicht die Lösung sein.
Aus dem Grund hab ich ja darum geben einen Schritt vorzurechnen, damit ich genau das nachvollziehen kann.
Ich steh hier wohl komplett auf der Leitung. Vielen Dank für deine Geduld.
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> > Warum, wir waren doch schon bei
> >
> > [mm]y+dy=x^{-2}*\green{\left(1+\frac{dx}{x}\right)^{-2}}[/mm]
> >
> > Also führe die Polynomdivision nur für den grün
> > markierten Ausdruck durch.
> > Es ist (mit [mm]a=\frac{dx}{x}[/mm])
> >
> > [mm]1:\left(1+2a+a^2\right)=1-2a+3a^2-4a^3+-...[/mm]
> >
> > und damit hast du genau den Ausdruck, der in dem Buch
> > angeben ist.
> >
> > Gruß RMix
>
> Genau bei diesem Schritt komme ich eben nicht weiter. Ich
> hab die Polynomdivision so gelernt, dass man nur dann
> dividieren kann, wenn der Grad des Polynoms mit der
> höchsten Potenz im Divisor größer/gleich dem im
> Dividenden ist. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Stop ! ich bin ziemlich sicher, dass du das genau umgekehrt
gemeint als geschrieben hast. Beispiel: Im Quotienten
[mm] $\frac{x^4-5\,x^3+2\,x-8}{x^2-x+3}$
[/mm]
der für die "übliche" Polynomdivision in Frage kommt, ist
der Grad des Divisors (Nenners !) gleich 2 und der des
Dividenden (Zählers) gleich 4. Die PD kann durchgeführt
werden, weil der Grad des Divisors hier kleiner ist als der
des Dividenden.
> Ist das nicht der Fall, hat man den Rest
> der Division. Als Beispiel:
>
> [mm](2x^{2}-5x+3):(2x+1)=x-3+\bruch{6}{2x+1}[/mm]
>
> Wobei die 6 im Zähler des Bruchs eben der Rest der
> Polynomdivision ist, weil 2x nicht mehr in 6 passt.
>
> Bei der gefragen Polynomdivision passt ja das Polynom mit
> dem höchsten Grad [mm]a^{2}[/mm] nicht in die 1 hinein oder? Nach
> der Regel ist die Polynomdivision ja nicht durchführbar.
> Ich meine ich weiß, dass man wenn man [mm]a^{2}[/mm] mit [mm]a^{-2}[/mm]
> multipliziert man auf die 1 kommt, aber [mm]a^{-2}[/mm] kommt ja im
> Ergebnis nicht vor, deswegen wird das ja nicht die Lösung
> sein.
> Aus dem Grund hab ich ja darum geben einen Schritt
> vorzurechnen, damit ich genau das nachvollziehen kann.
>
> Ich steh hier wohl komplett auf der Leitung. Vielen Dank
> für deine Geduld.
Hallo Urbain,
bei der "üblichen" Polynomdivision ist natürlich das richtig,
was du darüber sagst (bzw. meinst ...):
Der Grad des Divisorpolynoms darf den Grad des zu
dividierenden Polynoms nicht übertreffen.
Hier haben wir aber eine etwas andere Situation, da wir
voraussetzen dürfen, dass der Term a dem Betrag nach
sehr klein sein muss (effektiv ja sogar beliebig klein bzw.
"verschwindend klein" wegen des darin steckenden
Differentials).
Man kommt so beim Dividieren beim (vorläufigen)
Ergebnis zu immer höheren Potenzen von a. Da wir aber
wissen, dass jedenfalls |a|<<1 , schadet dies hier nichts,
denn je höher die Potenz, desto kleiner werden die Beiträge
dieser hohen Potenzen von a. Im Endeffekt gelangen wir
durch diese Polynomdivision für diese Situation zu einer
konvergenten Reihenentwicklung, welche man z.B. auch
(auf andere und eher umständlichere Art und Weise)
als Taylorreihe mittels Differentialrechnung hätte
erzeugen können.
Der Unterschied zur "gewöhnlichen" Polynomdivision ist
der, dass man hier zunächst die Glieder mit den kleinsten
Exponenten eliminiert und so Reste mit immer höheren
Exponenten produziert. Bei der "normalen" PD macht man
genau umgekehrt.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:58 Sa 02.08.2014 | | Autor: | Urbain |
> Der Unterschied zur "gewöhnlichen" Polynomdivision ist
> der, dass man hier zunächst die Glieder mit den
> kleinsten
> Exponenten eliminiert und so Reste mit immer höheren
> Exponenten produziert. Bei der "normalen" PD macht man
> genau umgekehrt.
Ich hab das auch probiert umgekehrt vorzugehen und mit der 1 zu beginnen. Schriftlich sieht das dann aber bei mir so aus:
[mm] 1:(1+2a+a^{2})=1
[/mm]
[mm] -(1+2a+a^{2})
[/mm]
0
Um den Rest zu ermitteln multipliziere ich den Divisor (Nenner im Bruch) ja mit dem ersten Glied des Ergebnisses und subtrahiere dann alles von oben. Da würde dann aber 0 als Rest stehen bleiben. Zumindest ist das so, wie ich sonst immer vorgegangen bin und die Ergebnisse waren bis jetzt immer richtig. Was mache ich falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:01 Sa 02.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > Der Unterschied zur "gewöhnlichen" Polynomdivision ist
> > der, dass man hier zunächst die Glieder mit den
> > kleinsten
> > Exponenten eliminiert und so Reste mit immer höheren
> > Exponenten produziert. Bei der "normalen" PD macht man
> > genau umgekehrt.
>
> Ich hab das auch probiert umgekehrt vorzugehen und mit der
> 1 zu beginnen. Schriftlich sieht das dann aber bei mir so
> aus:
>
> [mm]1:(1+2a+a^{2})=1[/mm]
> [mm]-(1+2a+a^{2})[/mm]
> 0
>
> Um den Rest zu ermitteln multipliziere ich den Divisor
> (Nenner im Bruch) ja mit dem ersten Glied des Ergebnisses
> und subtrahiere dann alles von oben. Da würde dann aber 0
> als Rest stehen bleiben. Zumindest ist das so, wie ich
> sonst immer vorgegangen bin und die Ergebnisse waren bis
> jetzt immer richtig. Was mache ich falsch?
Da bleibt sicher nie 0 Rest. Überleg einmal, wovon du subtrahieren musst!
$.\ \ \ \ [mm] (1+0a+0a^2+0a^3+0a^4+0a^5+...):(1+2a+a^2)=1-2a+3a^2-+...$
[/mm]
[mm] $.-(1+2a+a^{2})$
[/mm]
---------
$.\ \ \ \ \ \ \ \ [mm] -2a-a^2+0a^3$
[/mm]
$.\ \ \ \ [mm] -(-2a-4a^2-2a^3)$
[/mm]
------------
$.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [mm] 3a^2+2a^3+0a^4$
[/mm]
$.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [mm] -(3a^2+6a^3+3a^4)$
[/mm]
------------
$.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [mm] -4a^3-3a^4+0a^5$
[/mm]
............
Rmix
P.S: Puh, das war jetzt extrem mühsam mit dem Formelsatz. Hat irgend jemand eine Idee, wie das einfacher gehen könnte? Tex Tabulatoren scheinen ja nicht unterstützt zu werden, oder?
Natürlich kann man mit [mm] $\backslash{quad}$ [/mm] und [mm] $\backslash{qquad}$ [/mm] ein klein wenig einsparen, aber viel weniger mühsam wirds dadurch auch nicht.
Mit "matrix" scheint es ebenfalls nicht zu funktionieren, denn da wird hier offenbar nach 10 Spalten automatisch ein Zeilenumbruch erzwungen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Sa 02.08.2014 | | Autor: | Urbain |
Vielen Dank. Endlich verstehe ich was passiert. Ich muss die Reste natürlich unter die 1 schreiben, dann klappt das auch. Dummer Fehler meinerseits. Wenn ich mich zu lange mit etwas befasse, dann neige ich leider zu solchen Fehlern und die fallen mir dann auch so schwer auf, obwohl so offensichtlich.
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Hallo,
hierauf wurde noch nicht eingegangen, soweit ich es übersehe:
> Nun habe ich allerdings wieder eine binomische Formel mit
> negativem Exponenten. Kann man die auflösen, ohne das
> ganze wieder in den Nenner eines Bruchs zu schieben?
Binome der Form [mm] (a+b)^r [/mm] lassen sich (mittels binomischer Formel) in endlich viele Summanden zerlegen genau dann, wenn [mm] r\in\IN [/mm] ist. In allen anderen Fällen wird daraus eine unendliche Reihe, die sog. ![[]](/images/popup.gif) Binomische Reihe, allerdings erst, nachdem das Binom so faktorisiert wurde, dass ein Summand 1 ist. Jetzt wo ich darüber nachdenke: vielleicht ist genau dies ja die Absicht das Autors?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Urbain |
Ich glaube du hast hier recht. Falls es euch interessiert, hier ist das komplette Beispiel. Es wird hier der Differentialquotient (1. Ableitung) folgender Funktion ermittelt:
[mm] y=x^{-2}
[/mm]
[mm] y+dy=(x+dx)^{-2}
[/mm]
[mm] y+dy=x^{-2}(1+\bruch{dx}{x})^{-2}
[/mm]
[mm] y+dy=x^{-2}[1-2\bruch{dx}{x}+\bruch{2(2+1)}{1,2}(\bruch{dx}{x})^{2}-...]
[/mm]
[mm] y+dy=x^{-2}-2x{-3}dx+3x{-4}(dx)^{2}-4x^{-5}(dx)^{3}+...
[/mm]
"Vernachlässigen wir jetzt die kleinen Größen höherer Ordnung, so finden wir"
[mm] y+dy=x^{-2}-2x^{3}dx
[/mm]
"Ziehen wir [mm] y=x^{-2} [/mm] ab, so ergibt sich"
[mm] dy=-2x^{-3}dx
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=-2x^{-3}
[/mm]
Es wurde hier also gezeigt woher die Potenzregel beim Ableiten von Funktionen kommt. Das soll ein Einführungsbuch sein. Da frag ich mich echt manchmal ob die Sache mit der binomischen Reihe wirklich so schwer zu verstehen ist, wenn man das noch nie gesehen hat. Verstanden hab ich Binomische Reihen nicht. Die Erklärung auf Wikipedia ist für mich nicht einfach nachzuvollziehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Mi 30.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich glaube du hast hier recht. Falls es euch interessiert,
> hier ist das komplette Beispiel. Es wird hier der
> Differentialquotient (1. Ableitung) folgender Funktion
> ermittelt:
>
> [mm]y=x^{-2}[/mm]
> [mm]y+dy=(x+dx)^{-2}[/mm]
> [mm]y+dy=x^{-2}(1+\bruch{dx}{x})^{-2}[/mm]
>
> [mm]y+dy=x^{-2}[1-2\bruch{dx}{x}+\bruch{2(2+1)}{1,2}(\bruch{dx}{x})^{2}-...][/mm]
> [mm]y+dy=x^{-2}-2x{-3}dx+3x{-4}(dx)^{2}-4x^{-5}(dx)^{3}+...[/mm]
>
> "Vernachlässigen wir jetzt die kleinen Größen höherer
> Ordnung, so finden wir"
>
> [mm]y+dy=x^{-2}-2x^{3}dx[/mm]
>
> "Ziehen wir [mm]y=x^{-2}[/mm] ab, so ergibt sich"
>
> [mm]dy=-2x^{-3}dx[/mm]
> [mm]\bruch{dy}{dx}=-2x^{-3}[/mm]
>
> Es wurde hier also gezeigt woher die Potenzregel beim
> Ableiten von Funktionen kommt. Das soll ein
> Einführungsbuch sein. Da frag ich mich echt manchmal ob
> die Sache mit der binomischen Reihe wirklich so schwer zu
> verstehen ist, wenn man das noch nie gesehen hat.
> Verstanden hab ich Binomische Reihen nicht. Die
> Erklärung auf WikipediaEingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ist für mich nicht einfach nachzuvollziehen.
es ist vor allem unnötig. Dass man $(x^n)'=n*x^{n-1}$ mit der binomischen
Reihe herleitet, ist ja okay. Bräuchte man aber auch nicht unbedingt. Man
kann tricksen:
Berechne mal (für $x \not=x_0$)
$(x^n-x_0^n)$ : $(x-x_0)$
mit Polynomdivision. Wenn Du keine Idee oder kein Gefühl dafür hast:
Mach's mal nach und nach für $n=1,2,3,4,5\,.$
Übrigens ein Hinweis, warum diese "aufgehen muss": Der Nenner ist $0\,$ für
$x=x_0\,.$ Setzt man $x=x_0$ in den Zähler ein, so wird der auch Null.
Danach ist dann
$\left.(x^n)'\right|_{x=x_0}=\lim_{x_0 \not=x \to x_0} \frac{x^n-x_0^n}{x-x_0}\,.$
Und wenn man jetzt die Quotientenregel kennt, hat man schon gewonnen,
wenn wir negative ganzzahlige Exponenten haben.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:17 Sa 26.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
In dem Buch, welches du für dein Selbststudium verwendest, wird doch genau an der neuralgischen Stelle bezüglich der binomischen Reihe auf ein weiter hinten liegendes Kapitel verwiesen. In dem wird dann zugegebenermaßen die Reihe aber auch nicht wirklich hergeleitet.
Die mir vorliegende zweite Auflage des Buches feiert ja heuer im Oktober ihren 100. Geburtstag. Vielleicht gehörte die Kenntnis der allgemeinen binomischen Reihe damals zum Handwerkszeug von Schülern und Studenten, welche sich erstmals an die Infinitesimalrechnung heranwagten. Heute ist das wohl eher nicht der Fall.
Auf eine elementare Herleitung durch Polynomdivison hat ja leduart schon hingewiesen.
Gruß RMix
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