Binet-Cauchy < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 So 24.04.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Wieso folgt aus der Formel von Binet-Cauchy für det(A^TA) diese Gleichung [wenn man k=2 und n=3 wählt und [mm] a,b\in \IR^3 [/mm] und Matrix A:=(a,b) setzt]:
[mm] ||a\times b||^2=||a||^2 ||b||^2-^2 [/mm] |
Ich habe leider keine Ahnung, wieso
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Mo 25.04.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Mit [mm] A=\pmat{a & b} [/mm] und a,b [mm] \in \IR^3 [/mm] gilt
[mm] A^T*A=\vektor{a^T \\ b^T}*\pmat{a & b}=\pmat{ a^Ta & a^Tb \\ b^Ta & b^Tb } [/mm] und deshalb
[mm] det\left(A^T*A\right)=\parallel{a}\parallel^2-^2
[/mm]
Wenn [mm] a=\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3 } [/mm] und [mm] b=\vektor{b_1 \\ b_2 \\ b_3 } [/mm] ist folgt aus der Formel von Binet-Cauchy
[mm] det\left(A^T*A\right)=\summe_{S\subseteq 1,..,m ; |S|=n}{}det\left(A^T_S\right)*det\left(A_S\right) [/mm] und deshalb
[mm] det\left(A^T*A\right)=det\pmat{ a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 }*det\pmat{ a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 }+det\pmat{ a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 }*det\pmat{ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 }+det\pmat{ a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 }*det\pmat{ a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 }
[/mm]
und das ausgerechnet ergibt das gewünschte Ergebnis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Mo 25.04.2011 | | Autor: | mikexx |
Wow, vielen Dank für deine Antwort!
Nun ist's mir klar geworden!
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