Bilinearformeigenschaften < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Sa 07.01.2012 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | Ich habe ein paar Aufgaben zu lösen, bei denen ich zeigen muss ob die jeweilige Abb eine Bilinearform ist, beispielsweise die folgende:
[mm] V=M_{n,n}(K) [/mm] und für fixe Matrix [mm] A\in [/mm] V sei [mm] f_A :V\times{V}->K [/mm] definiert durch [mm] f_A(X,Y)=Spur(XAY) [/mm] |
Um zu zeigen das es sich um eine Bilinearform handelt, muss ich nichts weiter zeigen als beispielsweise
(1) f(X+Z,Y)=f(X,Y)+f(Z,Y)
(2) [mm] f(\lambda X,Y)=\lambda [/mm] f(X,Y)
oder? Nach der Symmetrie ist ja explizit nicht gefragt worden. Diese beiden Eigenschaften waren sehr einfach zu zeigen, da die Spur ja eine lineare Abbildung ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Sa 07.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe ein paar Aufgaben zu lösen, bei denen ich zeigen
> muss ob die jeweilige Abb eine Bilinearform ist,
> beispielsweise die folgende:
>
> [mm]V=M_{n,n}(K)[/mm] und für fixe Matrix [mm]A\in[/mm] V sei [mm]f_A :V\times{V}->K[/mm]
> definiert durch [mm]f_A(X,Y)=Spur(XAY)[/mm]
> Um zu zeigen das es sich um eine Bilinearform handelt,
> muss ich nichts weiter zeigen als beispielsweise
>
> (1) f(X+Z,Y)=f(X,Y)+f(Z,Y)
> (2) [mm]f(\lambda X,Y)=\lambda[/mm] f(X,Y)
>
> oder?
Genau. Und natuerlich auch die Linearitaet in der zweiten Komponente.
> Nach der Symmetrie ist ja explizit nicht gefragt
> worden. Diese beiden Eigenschaften waren sehr einfach zu
> zeigen, da die Spur ja eine lineare Abbildung ist.
Exakt...
LG Felix
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