Bilinearform auf IR^3 < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei b: [mm] \IR^{3} \times \IR^{3} \to \IR [/mm] die Bilinearform auf [mm] \IR^{3}, [/mm] welche bzgl. der Standardbasis [mm] \varepsilon [/mm] die Darstellung
[mm] M_\varepsilon(b) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1} [/mm] besitzt.
Finden Sie die Matrizendarstellung [mm] M_\mathcal{B}(b) [/mm] von b bzgl. der Basis
[mm] \mathcal{B}:=\{ \vektor{1 \\ 1 \\ 0} , \vektor{0 \\ 1 \\ 0} , \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \} [/mm] |
Hallo zusammen
Ich glaube, dass ich verstanden habe wie es geht, aber wegen U bin ich mir noch etwas unsicher, ob ich dieses richtig gewählt (gerechnet) habe.
Also:
[mm] U=\pmat{1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] und somit [mm] U^{T}=\pmat{1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1}.
[/mm]
Gerechnet habe ich das mit allen Standardbasisvektoren analog dazu:
[mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] u*\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0}+v*\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0}+w*\vektor{ 1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
und aus u, v, w habe ich dann die entsprechenden Spalten von U konstruiert.
Das ergibt mir dann für [mm] M_\mathcal{B}(b) =U^T*M_\varepsilon(b)*U=\pmat{ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & -2} [/mm]
Ist das richtig? Und falls nicht, wie geht es dann?
Ausserdem noch kurz eine Verständnisfrage ist [mm] (U^T*M_\varepsilon(b))*U =U^T*(M_\varepsilon(b)*U) [/mm] ??? Falls ja, kann ich das auch auf nicht-quadratische Matrizen anwenden?
Danke herzlich für eure Hilfe!
Grüsse Cassiopaya
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> Sei b: [mm]\IR^{3} \times \IR^{3} \to \IR[/mm] die Bilinearform auf
> [mm]\IR^{3},[/mm] welche bzgl. der Standardbasis [mm]\varepsilon[/mm] die
> Darstellung
>
> [mm]M_\varepsilon(b)[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1}[/mm]
> besitzt.
>
> Finden Sie die Matrizendarstellung [mm]M_\mathcal{B}(b)[/mm] von b
> bzgl. der Basis
>
> [mm]\mathcal{B}:=\{ \vektor{1 \\ 1 \\ 0} , \vektor{0 \\ 1 \\ 0} , \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \}[/mm]
>
> Hallo zusammen
>
> Ich glaube, dass ich verstanden habe wie es geht, aber
> wegen U bin ich mir noch etwas unsicher, ob ich dieses
> richtig gewählt (gerechnet) habe.
>
> Also:
>
> [mm]U=\pmat{1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm] und somit
> [mm]U^{T}=\pmat{1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1}.[/mm]
>
> Gerechnet habe ich das mit allen Standardbasisvektoren
> analog dazu:
>
> [mm]\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]u*\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0}+v*\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0}+w*\vektor{ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> und aus u, v, w habe ich dann die entsprechenden Spalten
> von U konstruiert.
> Das ergibt mir dann für [mm]M_\mathcal{B}(b) =U^T*M_\varepsilon(b)*U=\pmat{ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & -2}[/mm]
>
> Ist das richtig? Und falls nicht, wie geht es dann?
Also man müsste das hier genau umgekehrt machen.
Wir brauchen die Vektoren der Basis B mit Hilfe von der Standartbasis ausdrucken, dann kriegen wir die Übergangsmatrix U, die wir brauchen.
Es ist so, wir haben die Matrix der Bilinearform bezüglich der Standartbasis.
Das heisst, wenn wir Vektor mit Koordinaten bezüglich der Standartbasis haben, können wir die Matrix mit diesem transponierten Vektor von links und dem Vektor von rechts ausmultiplizieren und kriegen den Wert der Bilinearform.
Wir wollen nun die Matrix von b bezüglich der Basis B.
Das heisst, wir haben Vektor mit Koordinaten bezüglich der Basis B.
Wir brauchen also den Vektor bezüglich der Standartbasis auszudrücken, denn für die Standartbasis können wir den Wert der Bilinearform rechnen.
Also drücken wir die Vektoren der Basis B mit Hilfe von der Standartbasis aus und kriegen die Übergangsmatrix U.
Du hast also nur falsche Matrix U ausgerechnet, sonst ist dein Weg richtig.
> Ausserdem noch kurz eine Verständnisfrage ist
> [mm](U^T*M_\varepsilon(b))*U =U^T*(M_\varepsilon(b)*U)[/mm] ???
Ja, Matrizenmultiplikation ist assoziativ.
> Falls ja, kann ich das auch auf nicht-quadratische Matrizen
> anwenden?
Was genau möchtest du anwenden?
> Danke herzlich für eure Hilfe!
>
> Grüsse Cassiopaya
Gruss von Strangelet
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Mi 18.11.2009 | | Autor: | nooschi |
ich habe das selbe Problem, bei der selben Aufgabe, deshalb schreibe ich mal hier rein ;)
Du hast geschrieben:
Das heisst, wir haben Vektor mit Koordinaten bezüglich der Basis B.
Wir brauchen also den Vektor bezüglich der Standartbasis auszudrücken, denn für die Standartbasis können wir den Wert der Bilinearform rechnen.
ich verstehe das irgendwie noch nicht ganz. Man will ja schlussendlich eine Matrix mit der man den Wert der Bilinearform berechnen kann und zwar indem man von links und rechts zwei Vektoren aus der Basis B nimmt.
Heisst das dann nicht, dass man zuerst den Basiswechsel von B in die Einheitsbasis berechnen muss und das dann U ist? (also ich meine jetzt, weil man ja mit U von B nach E kommt, dann das Bilineare Ding ausführen kann (weil das ja bzgl. der Standardbasis ist) und dann mit Basiswechsel wieder zurück nach B muss)
Wenn das stimmen würde, dann wäre doch gerade [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] dieser Basiswechsel? Denn:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }*\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }*\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
wie man vielleicht merkt, verwirrt mich das ganze Zeug von wegen Basiswechsel etc und wie man von wo auf wo kommt, also falls irgendjemand eine gut verständliche Internetseite kennt, bitte hier posten :D
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> Du hast geschrieben:
>
> Das heisst, wir haben Vektor mit Koordinaten bezüglich der
> Basis B.
> Wir brauchen also den Vektor bezüglich der Standartbasis
> auszudrücken, denn für die Standartbasis können wir den
> Wert der Bilinearform rechnen.
>
>
> ich verstehe das irgendwie noch nicht ganz. Man will ja
> schlussendlich eine Matrix mit der man den Wert der
> Bilinearform berechnen kann und zwar indem man von links
> und rechts zwei Vektoren aus der Basis B nimmt.
Hallo,
ja, genau. Und diese Vektoren in Koordinaten bzgl der Basis B kann die Matrix $ [mm] M_\varepsilon(b) [/mm] $ nicht verdauen.
Sie kann nur vektoren bzgl. der Standardbasis vertragen.
> Heisst das dann nicht, dass man zuerst den Basiswechsel
> von B in die Einheitsbasis berechnen muss und das dann U
> ist?
Genau.
> (also ich meine jetzt, weil man ja mit U von B nach E
> kommt, dann das Bilineare Ding ausführen kann (weil das ja
> bzgl. der Standardbasis ist) und dann mit Basiswechsel
> wieder zurück nach B muss)
Ganz genau.
> Wenn das stimmen würde, dann wäre doch gerade [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> dieser Basiswechsel?
Nein.
Was muß U leisten? Sie muß die Koordinatenvektoren bzgl B in solche bzgl. der Standardbasis umwandeln.
Was ist der erste Basisvektor von B in Koordinaten bzgl. der Standardbasis? Es ist der Vektor [mm] \vektor{1\\\\0}_{(B)}=\vektor{1\\1\\0}_{\varepsilon} [/mm] !
Also ist die Transformationsmatrix [mm] U=\pmat{1&0&1\\1&1&1\\0&0&1}.
[/mm]
> Denn:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Du hast hier die Matrix, welche Vektoren, die bzgl der Standardbasis geben sind, in solche bzgl B umwandelt.
Der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}_{\varepsilon} [/mm] ist ja der erste Basisvektor von B, also [mm] =\vektor{1\\0\\0}_B.
[/mm]
Gruß v. Angela
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>
> wie man vielleicht merkt, verwirrt mich das ganze Zeug von
> wegen Basiswechsel etc und wie man von wo auf wo kommt,
> also falls irgendjemand eine gut verständliche
> Internetseite kennt, bitte hier posten :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Fr 20.11.2009 | | Autor: | nooschi |
hey angela,
danke vielmals, ich glaube ich hab das jetzt endlich verstanden :D
also das heisst, wenn ich eine neue Basis B bekomme, dann ist die bezüglich der Standardbasis aufgeschrieben. wenn die bezüglich der neuen Basis aufgeschrieben wäre, würde die gerade wieder so wie die Standardbasis aussehen, also zum Beispiel im dreidimensionalen, wäre das wieder
[mm] \{\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\}
[/mm]
stimmt das jetzt so?
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Hallo,
> also das heisst, wenn ich eine neue Basis B bekomme, dann
> ist die bezüglich der Standardbasis aufgeschrieben.
Oft sehr ist das so.
Wenn nichts anderes dasteht, sind die Spalten bzgl der Standardbasis.
> wenn
> die bezüglich der neuen Basis aufgeschrieben wäre, würde
> die gerade wieder so wie die Standardbasis aussehen, also
> zum Beispiel im dreidimensionalen, wäre das wieder
> [mm]\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\}[/mm]
>
> stimmt das jetzt so?
Ja.
Immer, wenn Verwechslungs/Verwirrungsgefahr besteht, hänge ich an die Spalten als Index die jeweilige Basis an.
Mir hilft das oft.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Fr 20.11.2009 | | Autor: | nooschi |
oke, danke vielmals!!
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