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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:01 So 06.06.2010 | | Autor: | Morrow |
| Aufgabe | Auf dem Vektorraum [mm] P_n [/mm] aller reellen Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n gibt es eine Bilinearform, die folgendermassen definiert ist:
<f,g> := [mm] \integral_{-1}^{1} f(x)*g(x)\, [/mm] dx
a) Diese Form ist symmetrisch und positiv definit.
b) Man finde eine Orthonormalbasis von [mm] P_n [/mm] bezüglich dieser Bilinearform für die Fälle n = 1,2,3 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen
Teilaufgabe a) habe ich bereits bewiesen. Bei Teilaufgabe b) ist mir jedoch nicht klar, was ich tun soll:
Nehmen wir den Fall n = 1. Sodann sollte ja B = {1,x} eine Basis sein, da [mm] P_1 [/mm] = [mm] a_0+a_1*x
[/mm]
Wie kann ich nun jedoch eine Orthonormalbasis dazu finden? Deren Definition ist ja [mm] \begin{Vmatrix} b_i \end{Vmatrix} [/mm] = 1 und [mm] [/mm] = 0
Was ist [mm] \begin{Vmatrix} b_i \end{Vmatrix} [/mm] im Falle von [mm] P_1? [/mm] Also [mm] \begin{Vmatrix} 1 \end{Vmatrix} [/mm] und [mm] \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix}? [/mm] es handelt sich dabei ja nicht um Vektoren?
Und zeigt folgendes die Orthogonalität der beiden Basiselemente?:
<1,x> = [mm] \integral_{-1}^{1} 1*x\, [/mm] dx = [mm] \bruch{1^2}{2} [/mm] - [mm] \bruch{(-1)^2}{2} [/mm] = 0
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Grüsse
Morrow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:36 So 06.06.2010 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Du nimmst die falsche Norm. Wenn da steht "bezüglich dieses Skalarproduktes" wird sicherlich die Norm gemeint sein, die durch das Skalarprodukt induziert wird, also:
Für [mm] $p\in P_m$: \|p\|:=(\int_{-1}^1{p(x)*p(x)dx})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Damit ist dann [mm] \|1\|=\wurzel{2} [/mm] und [mm] \|x\|=\wurzel{\bruch{2}{3}}. [/mm] Laut Definition folgt damit: [mm] \|\bruch{1}{\wurzel{2}}\|=1, [/mm] sowie [mm] \|\wurzel{\bruch{3}{2}}x\|=1
[/mm]
Rechne das lieber nochmal nach. Bin mir da sehr unsicher ob ich da richtig integriert hab.
Damit hast du für n=1 eine ONB [mm] \{\bruch{1}{\wurzel{2}},\wurzel{\bruch{3}{2}}x\}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:48 So 06.06.2010 | | Autor: | Morrow |
Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Leider verstehe ich nicht ganz, wie du auf die Norm $ [mm] \|p\|:=(\int_{-1}^1{p(x)\cdot{}p(x)dx})^{\bruch{1}{2}} [/mm] $ kommst. Könntest du dies für mich noch erläutern?
Die Integrale sind übrigens korrekt berechnet. Muss ich nicht noch für eine ONB zeigen?:
[mm] <\bruch{1}{\wurzel{2}},\wurzel{\bruch{3}{2}}*x> [/mm] = $ [mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{1}{\wurzel{2}}*\wurzel{\bruch{3}{2}}*x dx\, [/mm] = 0$
Grüesse
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Moin,
es gilt doch $\ <f,g> := [mm] \integral_{-1}^{1} f(x)\cdot{}g(x) [/mm] dx $
Dann ist $\ [mm] \|p\|:= \wurzel{}:=(\int_{-1}^1{p(x)\cdot{}p(x)dx})^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{\int_{-1}^1{p(x)\cdot{}p(x)dx}} [/mm] = [mm] \wurzel{\int_{-1}^1{p^2(x)dx}}$
[/mm]
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 So 06.06.2010 | | Autor: | max3000 |
> Die Integrale sind übrigens korrekt berechnet. Muss ich
> nicht noch für eine ONB zeigen?:
>
> [mm]<\bruch{1}{\wurzel{2}},\wurzel{\bruch{3}{2}}*x>[/mm] =
> [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{\wurzel{2}}*\wurzel{\bruch{3}{2}}*x dx\, = 0[/mm]
>
> Grüesse
Das hast du ja eigentlich schon gezeigt.
Es gilt ja [mm] <\bruch{1}{\wurzel{2}},\wurzel{\bruch{3}{2}}*x>=\bruch{1}{\wurzel{2}}*\wurzel{\bruch{3}{2}}<1,x>=...
[/mm]
Und du hast ja schon berechnet dass <1,x>=0 ist.
Aber ja, das musst du natürlich auch noch zeigen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 So 06.06.2010 | | Autor: | Morrow |
@max3000 & ChopSuey:
Ja natürlich, alles klar jetzt!
Ich danke vielmals für die schnelle und gute Hilfe, ihr seid super! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 So 06.06.2010 | | Autor: | Morrow |
Ja, diesen Verfahren hatten wir bereits. Für einen Vektorraum mit gewöhnlicher Norm und Skalarprodukt habe ich dies auch schon problemlos verwendet, hatte jetzt nur mit der Anwendung auf eine Bilinearform Mühe.
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Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren