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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Fr 27.02.2009 | | Autor: | daisa |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Zwei bilineare Formen
s: V x V [mm] \to [/mm] K, s': V x V [mm] \to [/mm] K
sind äquivalent falls es einen K-linearen Automorphismus f: V [mm] \to [/mm] V gibt, so dass s'(f(v), f(w)) = s(v,w) für alle v, w [mm] \in [/mm] V.
Zeigen Sie, dass die bilineare Form s: [mm] \IQ^{2} [/mm] x [mm] \IQ^{2} \to \IQ [/mm] definiert durch s((a,b),(a',b')) := aa' + 2bb' nicht äquivalent zum Standardskalarprodukt ist. Das Standardskalarprodukt < , > ist gegeben durch <(a,b),(a',b')> = aa' + bb'. |
Hallo,
vorerst eine Frage zur Aufgabenstellung. Ich verstehe die Äquivalenz von zwei bilinearen Formen folgendermassen: [mm] \exists [/mm] f mit s'(f(v),f(w)) = s(v,w) [mm] \Rightarrow [/mm] s und s' sind äquivalent. Stimmt das soweit?
Falls dies so ist, würde davon ausgehen, dass
s und s' sind nicht äquivalent [mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert kein solches f
Also zu zeigen: <f(a,b), f(a',b')> [mm] \not= [/mm] s((a,b),(a'b'))
Falls meine Gedanken soweit korrekt sind, habe ich aber keine Ahnung wie ich dies zeigen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
lg, daisa
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> Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Zwei bilineare
> Formen
> s: V x V [mm]\to[/mm] K, s': V x V [mm]\to[/mm] K
> sind äquivalent falls es einen K-linearen Automorphismus
> f: V [mm]\to[/mm] V gibt, so dass s'(f(v), f(w)) = s(v,w) für alle
> v, w [mm]\in[/mm] V.
> Zeigen Sie, dass die bilineare Form s: [mm]\IQ^{2}[/mm] x [mm]\IQ^{2} \to \IQ[/mm]
> definiert durch s((a,b),(a',b')) := aa' + 2bb' nicht
> äquivalent zum Standardskalarprodukt ist. Das
> Standardskalarprodukt < , > ist gegeben durch
> <(a,b),(a',b')> = aa' + bb'.
> Hallo,
>
> vorerst eine Frage zur Aufgabenstellung. Ich verstehe die
> Äquivalenz von zwei bilinearen Formen folgendermassen:
> [mm]\exists[/mm] f mit s'(f(v),f(w)) = s(v,w) [mm]\Rightarrow[/mm] s und s'
> sind äquivalent. Stimmt das soweit?
>
> Falls dies so ist, würde davon ausgehen, dass
> s und s' sind nicht äquivalent [mm]\Rightarrow[/mm] Es existiert
> kein solches f
> Also zu zeigen: <f(a,b), f(a',b')> [mm]\not=[/mm] s((a,b),(a'b'))
> Falls meine Gedanken soweit korrekt sind, habe ich aber
> keine Ahnung wie ich dies zeigen soll.
Hallo,
soweit scheinst Du das richtig verstanden zu haben.
Du könntest nun zeigen, daß die Annhame, daß es ein solches f gibt, zum Widerspruch führt.
Hilfreich hierfür könnte vielleicht sein, daß [mm] s(x,y)=x^t\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 }y [/mm] f.a. [mm] x,y\in \IR^2 [/mm] ist.
Ich weiß leider nicht, was schon alles dran war bi Euch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Fr 27.02.2009 | | Autor: | daisa |
Hallo Angela,
Danke für deine Antwort!
Leider, kann ich im Moment noch nichts mit deinem Tipp anfangen....
Kann man denn auch <f(a,b) , f(a',b')> in diese Form bringen? Falls ja, wie kann ich dies anstellen?! Was mich an diesem Term stört, ist das f. Mit <(a,b) , (a',b')> = aa' + bb' würde man nämlich sofort sehen, dass diese zwei Bilinearformen nicht äquivalent sind...
...brauche noch Hilfe!
lg, daisa
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> Hallo Angela,
>
> Danke für deine Antwort!
>
> Leider, kann ich im Moment noch nichts mit deinem Tipp
> anfangen....
>
> Kann man denn auch <f(a,b) , f(a',b')> in diese Form
> bringen? Falls ja, wie kann ich dies anstellen?! Was mich
> an diesem Term stört, ist das f. Mit <(a,b) , (a',b')> =
> aa' + bb' würde man nämlich sofort sehen, dass diese zwei
> Bilinearformen nicht äquivalent sind...
Hallo,
ja, das ist wahr, diese Erkenntnis allerdings wäre keine sehr große Geistesleistung.
Meine Idee hierbei wäre, die Abbildung f durch eine Matrix auszudrücken.
Wenn Du das nicht magst., kannst Du ja auch mal Felix' Tip versuchen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Fr 27.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Zwei bilineare
> > Formen
> > s: V x V [mm]\to[/mm] K, s': V x V [mm]\to[/mm] K
> > sind äquivalent falls es einen K-linearen
> Automorphismus
> > f: V [mm]\to[/mm] V gibt, so dass s'(f(v), f(w)) = s(v,w) für alle
> > v, w [mm]\in[/mm] V.
> > Zeigen Sie, dass die bilineare Form s: [mm]\IQ^{2}[/mm] x
> [mm]\IQ^{2} \to \IQ[/mm]
> > definiert durch s((a,b),(a',b')) := aa' + 2bb' nicht
> > äquivalent zum Standardskalarprodukt ist. Das
> > Standardskalarprodukt < , > ist gegeben durch
> > <(a,b),(a',b')> = aa' + bb'.
> > Hallo,
> >
> > vorerst eine Frage zur Aufgabenstellung. Ich verstehe die
> > Äquivalenz von zwei bilinearen Formen folgendermassen:
> > [mm]\exists[/mm] f mit s'(f(v),f(w)) = s(v,w) [mm]\Rightarrow[/mm] s und s'
> > sind äquivalent. Stimmt das soweit?
> >
> > Falls dies so ist, würde davon ausgehen, dass
> > s und s' sind nicht äquivalent [mm]\Rightarrow[/mm] Es existiert
> > kein solches f
> > Also zu zeigen: <f(a,b), f(a',b')> [mm]\not=[/mm]
> s((a,b),(a'b'))
> > Falls meine Gedanken soweit korrekt sind, habe ich aber
> > keine Ahnung wie ich dies zeigen soll.
>
> Hallo,
>
> soweit scheinst Du das richtig verstanden zu haben.
>
> Du könntest nun zeigen, daß die Annhame, daß es ein solches
> f gibt, zum Widerspruch führt.
Genau.
> Hilfreich hierfür könnte vielleicht sein, daß
> [mm]s(x,y)=x^t\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 }y[/mm] f.a. [mm]x,y\in \IR^2[/mm]
> ist.
Man kann auch den Vektor $v := (0, 1)$ betrachten, fuer den $s(v, v) = 2$ ist. Wenn [mm] $\langle [/mm] .,. [mm] \rangle$ [/mm] nun aequivalent zu $s$ sein soll, gibt es einen Automorphismus [mm] $\phi [/mm] : [mm] \IQ^2 \to \IQ^2$ [/mm] mit [mm] $\langle \phi(v), \phi(v) \rangle [/mm] = s(v, v) = 2$. Nun ist aber [mm] $\phi(v) [/mm] = (a, b)$ mit $a, b [mm] \in \IQ$ [/mm] (welche genauen Werte ist egal) und [mm] $\langle [/mm] (a, b), (a, b) [mm] \rangle [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2$. [/mm] Kannst du damit einen Widerspruch bekommen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Sa 28.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Man kann auch den Vektor [mm]v := (0, 1)[/mm] betrachten, fuer den
> [mm]s(v, v) = 2[/mm] ist. Wenn [mm]\langle .,. \rangle[/mm] nun aequivalent
> zu [mm]s[/mm] sein soll, gibt es einen Automorphismus [mm]\phi : \IQ^2 \to \IQ^2[/mm]
> mit [mm]\langle \phi(v), \phi(v) \rangle = s(v, v) = 2[/mm]. Nun ist
> aber [mm]\phi(v) = (a, b)[/mm] mit [mm]a, b \in \IQ[/mm] (welche genauen
> Werte ist egal) und [mm]\langle (a, b), (a, b) \rangle = a^2 + b^2[/mm].
> Kannst du damit einen Widerspruch bekommen?
Ich glaube, das funktioniert doch nicht so einfach. Der Weg ueber die Matrizen ist da wohl doch besser...
LG Felix
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