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| Aufgabe | Gegeben ist [m]A := \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -2
\end{pmatrix}[/m]
Eine Funktion [m]f[/m] wird durch folgendes Programm berechnet:
Input: [m]x \in [0,1]^{4}[/m] [m](= [0,1] \times [0,1] \times [0,1] \times [0,1])[/m]{Eingabe x}
1: for [m]i=1, ...5[/m] do
2: [m]x := Ax[/m]
3: end for
Output: [m]y := x[/m] {Ausgabe y = f(x)}
Bestimmen Sie die Bildmenge von f. |
Hallo zusammen.
Was ist hier mit [m]x \in [0,1]^{4}[/m] gemeint?
Kann mir jemand weiterhelfen, ein kurzer Tipp genügt...
Möchte die Aufgabe selbst erarbeiten!
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Mo 02.02.2015 | | Autor: | huddel |
hey gummibaum,
mit [mm] $[0,1]^{4} [/mm] $ ist der 4-dimmensionale Einheitswürfel gemeint, also eine Teilmenge des [mm] $E_4 \subset \mathbb{R}^4$ [/mm] mit [mm] $E_4 [/mm] = [mm] \lbrace (x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{R}^4: 0\leq x_i \leq 1\forall [/mm] i = 1,...,4 [mm] \rbrace$
[/mm]
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Hi. Jetzt kann ich noch weniger damit anfangen...
Hat jemand einen Anhaltspunkt für mich?
Danke im voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mo 02.02.2015 | | Autor: | huddel |
hm, wo genau hakt es denn?
Ich versuch erstmal klar zu machen, was [mm] $[0,1]^4$ [/mm] genau ist und bauen das mal Dimension für Dimension auf (wenn das alles trivial ist, überlies es einfach :D ):
die algemeine Definition wäre [mm] $[0,1]^n [/mm] = [mm] \underbrace{[0,1] \times ... \times [0,1]}_{n-mal}$. [/mm] Das ist nun wieder etwas abstrakt, also frangen wir bei $n=1$ an:
für $n=1$ ist [mm] $[0,1]^n [/mm] = [0,1]$ also das Intervall, welches alle Zahlen zwischen 0 und 1 enthällt. Stell dir den Zahlenstrahl vor, den man in der Schule kenne gelernt hat, nim einen roten Stift und makiere einfach mal alles was zwischen 0 und 1 liegt, dann hast du das Intervall.
für $n=2$ haben wir schon ein kleines Quadrat mit der Kantenlänge 1. Sprich du nimmst dir ein Blatt Papier und malst ein großes Kreuz rein. der Schnittpunkt ist wie immer die 0 und dann makierst du Abstände und nummerierst die durch. dann hast du jetzt auf der x-Achse eine 1 und auf der y-Achse eine. Nun gehst du von Nullpunkt aus mit deinem roten Stift eins nach rechts, eins nach oben, eins nach links und eins nach unten. Dann hast du ein kleines rotes Quadrat und das ist [mm] $[0,1]^2$.
[/mm]
für $n=3$ läuft das nun analog, blös, dass wir das nichtmehr in 2 Richtungen machen, sondern in 3 und wir erhalten kein Quadrat, sondern einen Würfel.
für $n=4$ wirds etwas kompliziert, da wir uns das nichtmehr wirklich vorstellen können, aber das Prinziep bleibt das gleiche. Du nimmst dir nun ein Koordinatensystem mit 4 Achsen (die [mm] $x_1$-Achse, $x_2$-Achse, $x_3$-Achse [/mm] und [mm] $x_4$-Achse). [/mm] In der Schule haben wir irgendwann mal gelernt, wie wir Vektoren im 2- und 3-dimensionalen dastellen:
$x=$
[mm] \begin{pmatrix}
x_1\\
x_2
\end{pmatrix}
[/mm]
oder
$x=$
[mm] \begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{pmatrix}
[/mm]
Für den 4-dimensionalen Fall hängen wir jetzt nur noch eins dran:
$x=$
[mm] \begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix}
[/mm]
Wenn man das weiterspinnt kannst du damit in jeder beliebigen Dimension jeden beliebigen Punkt im n-dimensionalen Anschauungsraum oder auch [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] bestimmten.
damit ergibt sich im Beispiel für $n=2$
[mm] $[0,1]^2 [/mm] = [mm] \lbrace$ [/mm] alle $x = [mm] \begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \end{pmatrix}$ [/mm] so dass [mm] $0\leq x_1 \leq [/mm] 1$ und $0 [mm] \leq x_2 \leq [/mm] 1$ [mm] gilt$\rbrace$
[/mm]
und für $n=4$
[mm] $[0,1]^4 [/mm] = [mm] \lbrace$ [/mm] alle $ x =$ [mm] \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} [/mm] so dass [mm] $0\leq x_1 \leq [/mm] 1$ und $0 [mm] \leq x_2 \leq [/mm] 1$ und $0 [mm] \leq x_3 \leq [/mm] 1$ und $0 [mm] \leq x_4 \leq [/mm] 1$ [mm] gilt$\rbrace$
[/mm]
ich hoffe für beliebiges n bekommst du das jetzt auch selbst hin und es ist klar geworden, was das zu bedeuten hat :)
Nun zu deiner Aufgabe:
Ich denke mal ihr hattet irgendwann mal definiert, wie ein Prodult einer Matrix mit einem Vektor aus zu sehen hat? Weil sonst wird das etwas kompliziert diese Aufgabe zu lösen und wenn doch sag doch nochmal bescheid, dann gehen wir das auch noch durch.
Falls du das weißt, dann nim dir doch mal einen Vektor her (oder ich geb dir jetzt mal den Vektor $x = [mm] $\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}) [/mm] und spiel das Programm mal damit durch. vllt wird dann klar, um was es dabei geht :)
Wenn du das mal gemacht hast, probierst du das mal mit mit dem algemeinen Fall und spielst das Programm mal mit einem Variablen-Vektor durch (also $ x =$ [mm] \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}). [/mm]
Ich hoffe ich konnte etwas helfen :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:37 Di 03.02.2015 | | Autor: | fred97 |
Seien [mm] A_1,...,A_n [/mm] nichtleere Mengen. Dann ist das kartesische Produkt
[mm] $A_1 \times A_2 \times... \times A_n$ [/mm] def. durch
[mm] $A_1 \times A_2 \times... \times A_n=\{(a_1,a_2,...,a_n): a_1 \in A_1,..., a_n \in A_n\}$.
[/mm]
Sind alle [mm] A_j [/mm] gleich, also [mm] A_1=A_2=...=A_n=B, [/mm] so schreibt man statt
$B [mm] \times [/mm] B [mm] \times... \times [/mm] B$ auch [mm] B^n.
[/mm]
FRED
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