Bilder einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Mi 09.09.2009 | | Autor: | stowoda |
| Aufgabe | Gib für alle b [mm] \in \IR [/mm] je eine Basis für [mm] Bild(A_b) [/mm] an.
[mm] A_b=\pmat{ 1 & b & -1\\ -1 & 1 & -1\\ 2 & -1 & 1} [/mm] |
Hallo.
Zünächst wollte ich fragen ob es heißt: Bilder einer Matrix oder einer Abbildung?
Gibt es ein Analogon zu "gewöhnlichen" Funktionen wie: [mm] x^3 [/mm] ?
Nun zur Aufgabe..
Ich habe gelesen, dass elementare Zeilenumformungen nicht zum Ziel führen, wenn man nach einer Basis des Bildes sucht, außer man transponiert die Matrix.
-Gibt es ein einfaches Beispiel welches zeigt, dass Zeilenumformungen das Bild verändern?-
Es werden also Spaltenumformungen gemacht um ans Ziel zu kommen..
Des weiteren habe ich irgendwo aufgeschnappt, dass ein Bild durch alle Linearkombinationen der linear unabh. Spalten gebildet wird. Ich glaube, dieses wird auch Erzeugnis oder Spann genannt.. oder?
Wenn ich nun mit dem Halbwissen an diese Aufgabe rangehe bekomme ich folgendes:
[mm] A_b [/mm] umgeformt: [mm] \pmat{ 1 & 2b+1 & 2b-2\\ -1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 0}
[/mm]
Falls das bis dahin richtig sein sollte sehe ich nun:
für b=1
[mm] Bild(A_b)=<\vektor{1 \\ -1 \\ 2},\vektor{3 \\ 1 \\ 0}>
[/mm]
für alle anderen b scheint mir
[mm] Bild(A_b)=<\vektor{1 \\ -1 \\ 2},\vektor{2b+1 \\ 1 \\ 0},\vektor{2b-2 \\ 0 \\ 0}>
[/mm]
Würde mich freuen falls jemand mit fundierterem Wissen, meine Aussagen bewerten könnte und gegebenenfalls richtigstellen.
Danke.
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> Gib für alle b [mm]\in \IR[/mm] je eine Basis für [mm]Bild(A_b)[/mm] an.
> [mm]A_b=\pmat{ 1 & b & -1\\ -1 & 1 & -1\\ 2 & -1 & 1}[/mm]
> Hallo.
>
> Zünächst wollte ich fragen ob es heißt: Bilder einer
> Matrix oder einer Abbildung?
Hallo,
es heißt "Bild der Matrix" und "Bild der Abbildung".
> Gibt es ein Analogon zu "gewöhnlichen" Funktionen wie:
> [mm]x^3[/mm] ?
Ja, die Bildmenge.
Für [mm] f:\IR\to \IR
[/mm]
mit [mm] f(x):=x^3
[/mm]
Wäre die Bildmenge, das Bild, [mm] f(\IR)=\IR.
[/mm]
Für [mm] g:\IR\to \IR
[/mm]
mit [mm] g(x):=x^2
[/mm]
Wäre die Bildmenge, das Bild, [mm] g(\IR)=\IR_0^{+}.
[/mm]
Das Besondere bei linearen Abbildungen/Matrizen ist, daß das Bild wieder ein Vektorraum ist.
> Nun zur Aufgabe..
> Ich habe gelesen, dass elementare Zeilenumformungen nicht
> zum Ziel führen, wenn man nach einer Basis des Bildes
> sucht, außer man transponiert die Matrix.
Es kommt darauf an, wie geschickt man es anstellt...
1. Es stimmt, daß Du, wenn Du das Bild direkt ablesen willst, Spaltenumformungen machen mußt.
Das hast Du getan, ich habe die Rechnung nicht nachvollzogen, aber Du hast so das richtige Ergebnis bekommen.
Ich rate immer von diesen Spaltenumformungen ab und plädiere dafür, alles, was zu tun ist, mit Zeilenumformungen zu machen - weil das Verwirrungspotential im Klausurfall etwas gerinder ist.
2. Du kannst die Matrix transonieren, mit Zeilenumformungen auf ZSF bringen. Wenn Du die verbleibenden Nichtnullzeilen wieder zu Spalten aufrichtest, hast Du eine Basis des Bildes.
(1. und 2. sind oft sehr bequem, wenn man anschließend zu einer Basis des Gesamtraumes ergänzen soll. )
3. Das von mir bevorzugte Verfahren - weil man damit nämlich gleichzeitig den Kern bestimmen kann:
Du kannst auch ganz "normal" die Matrix auf ZSF bringen.
Dann guckst Du, in welchen Spalten jeweils das erste von 0 verschiedene Element (=führende Zeilenelement ) der verbleibenden (Nichtnull-)Zeilen steht.
Stehen diese Elemente z.B. in der 1. und 3. Spalte, so weiß man, daß die 1. und 3. ursprüngliche Spalte eine Basis des Bildes sind.
> -Gibt es ein einfaches Beispiel welches zeigt, dass
> Zeilenumformungen das Bild verändern?-
Ja:
Wenn ich Deine Matrix auf ZSF bringe,
erhalte ich
[mm] \pmat{1&-1&1\\ 0&1&-1\\0&0&b-1}
[/mm]
Nehmen wir jetzt b=1.
Der Uninformierte könnte auf die Idee kommen, daß [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] ein Element der Basis des Bildes ist - katastrophalerweise liegt aber [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] überhaupt nicht im Bild!
Also grottenfalsch.
Der Informierte hingegen erkennt: die 1. und 2. der ursprünglichen Spalten, also [mm] \vektor{1\\-1\\2} [/mm] und [mm] \vektor{1\\1\\-1} [/mm] bilden zusammen eine Basis des Bildes.
> Es werden also Spaltenumformungen gemacht um ans Ziel zu
> kommen..
s.o.: man kann das so machen.
>
> Des weiteren habe ich irgendwo aufgeschnappt, dass ein Bild
> durch alle Linearkombinationen der linear unabh. Spalten
> gebildet wird. Ich glaube, dieses wird auch Erzeugnis oder
> Spann genannt.. oder?
Das Bild ist der VR, der durch die Spalten der Matrix erzeugt wird, besteht also aus allen Linearkombinationen der Spalten. (Spann, Erzeugnis, lineare Hülle)
Der Auftrag lautet ja meist, daß man eine Basis des Bildes bestimmen soll, also eine linear unabhängige Teilmenge, die diesen Raum erzeugt.
> Wenn ich nun mit dem Halbwissen an diese Aufgabe rangehe
> bekomme ich folgendes:
>
> [mm]A_b[/mm] umgeformt: [mm]\pmat{ 1 & 2b+1 & 2b-2\\ -1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 0}[/mm]
>
> Falls das bis dahin richtig sein sollte sehe ich nun:
>
> für b=1
>
> [mm]Bild(A_b)=<\vektor{1 \\ -1 \\ 2},\vektor{3 \\ 1 \\ 0}>[/mm]
Das Ergebnis ist richtig. nicht erschrecken lassen dadurch, daß ich oben eine andere Basis angegeben habe: die Basis ist nicht eindeutig bestimmt.
Ich würde lieber schreiben: eine Basis des Bildes ist [mm] \{\vektor{1 \\ -1 \\ 2},\vektor{3 \\ 1 \\ 0}\}, [/mm] denn im Erzeugendensystem dürften ungestraft noch 1000 andere vektoren sein, dafür hätte man nichts rechnen müssen.
>
> für alle anderen b scheint mir
>
> [mm]Bild(A_b)=<\vektor{1 \\ -1 \\ 2},\vektor{2b+1 \\ 1 \\ 0},\vektor{2b-2 \\ 0 \\ 0}>[/mm]
Ja. Das ist überigens der [mm] \IR³, [/mm] und wenn nach einer Basis gefragt ist, könntest Du auch die Standardbasis angeben oder irgendeine oder eben die, die Du mühsam ausgerechnet hast.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Do 10.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Ok, Danke :)
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Hallo Leute,
bisschen alt dieser Eintrag, aber ich versuchs trotzdem mal ;)
Ich greife nochmal das Zitat von Angela auf, wie mal das Bild der Matrix ausrechnet....
"Dann guckst Du, in welchen Spalten jeweils das erste von 0 verschiedene Element (=führende Zeilenelement ) der verbleibenden (Nichtnull-)Zeilen steht.
Stehen diese Elemente z.B. in der 1. und 3. Spalte, so weiß man, daß die 1. und 3. ursprüngliche Spalte eine Basis des Bildes sind."
Das Zitat versteh ich nicht :(
Also ich bringe die Matrix in ZSF und was genau soll ich dann machen???
Danke schonmal für euere Hilfe!!!
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> Hallo Leute,
>
> bisschen alt dieser Eintrag, aber ich versuchs trotzdem mal
> ;)
> Ich greife nochmal das Zitat von Angela auf, wie mal das
> Bild der Matrix ausrechnet....
>
> "Dann guckst Du, in welchen Spalten jeweils das erste von 0
> verschiedene Element (=führende Zeilenelement ) der
> verbleibenden (Nichtnull-)Zeilen steht.
> Stehen diese Elemente z.B. in der 1. und 3. Spalte, so
> weiß man, daß die 1. und 3. ursprüngliche Spalte eine
> Basis des Bildes sind."
>
> Das Zitat versteh ich nicht :(
> Also ich bringe die Matrix in ZSF
Hallo,
ja, das solltest Du erstmal machen, damit wir nicht ins Blaue hinein reden. Vieles versteht man beim Tun besser als beim Durchlesen.
Schreib also die Matrix hin und ihre ZSF.
Kreuze die Nichtnullzeilen an, also die Zeilen, in denen nicht nur Nullen stehen.
Markiere in diesen Zeilen farbig jeweils das erste von Null verschiedene Element.
In welchen Spalten hast Du jetzt farbig markierte Elemente?
Die entsprechenden Spalten der Ursprungsmatrix enthalten die Vektoren, welche eine Basis des Bildes bilden.
LG Angela
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cool, endlich habe ich es verstanden :)
ich danke dir vielmals.
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