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| Aufgabe | Gegeben sind die Abbildungen [mm] f_{i} [/mm] : [mm] D_{i} \mapsto \IR [/mm] für i [mm] \in [/mm] {1,2} durch
[mm] f_{1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{x - 2}, f_{2}(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + x + 2
1) Bestimmen Sie für i [mm] \in [/mm] {1,2} die größte Menge [mm] D_{i} \subseteq \IR_{i} [/mm] auf der [mm] f_{i} [/mm] definiert ist, sowie den Bildbereich [mm] f_{i}(D_{i}).
[/mm]
2) Untersuchen Sie die Abbildungen auf Injektivität
3) Im Falle der Injektivität bestimme man die Umkehrfunktion |
Hallo,
versuche gerade die obige Aufgaben mit Musterlösung nach zu vollziehen. Leider ist die Lösung dieser Aufgabe (meiner Meinung nach) etwas eigenartig gelöst worden. Vielleicht kann mir jemand beim Verständnis helfen.
1. Aufgabenteil
Der Definitionsbereich ist einfach, für [mm] D_{1} [/mm] = [mm] \IR\backslash \{2\} [/mm] und für [mm] D_{2} [/mm] = [mm] \IR
[/mm]
Problematisch wird es mit dem Bildbereich. Hier habe ich einfach mal die Umkehrfunktion für [mm] f_{1}(x) [/mm] gebildet (= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + 2), womit ersichtlich ist, dass dieser [mm] \IR \backslash\{0\} [/mm] ist.
Bei [mm] f_{2}(x) [/mm] tue ich mich mit dieser Methode schwer, (x = [mm] y^{2} [/mm] + y + 2 ??).
Die Musterlösung macht folgendes:
(i) [mm] f_{2}(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + x + 2 durch quadratische Ergänzung als (x + [mm] \bruch{1}{2})^{2} [/mm] + [mm] \bruch{7}{4} [/mm] schreiben
(ii) [mm] f_{2} [/mm] als Komposition von u, v, w darstellen, also [mm] f_{2} [/mm] = u [mm] \circ\ [/mm] v [mm] \circ [/mm] w mit:
u: [mm] \IR \mapsto \IR [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x + [mm] \bruch{7}{4}
[/mm]
v: [mm] \IR \mapsto \IR [/mm] x [mm] \mapsto x^{2}
[/mm]
w: [mm] \IR \mapsto \IR [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Ergebnis für den Bildbereich:
[mm] f_{2}(D_{2}) [/mm] = u [mm] \circ\ [/mm] v [mm] \circ [/mm] w [mm] (\IR) [/mm] = u [mm] \circ [/mm] v [mm] (\IR) [/mm] = [mm] u(\{x \in \IR: x \ge 0\}) [/mm] = [mm] \{x \in \IR: x \ge \bruch{7}{4}\}
[/mm]
So, meine Frage(n):
Mir ist klar, dass [mm] \bruch{7}{4} [/mm] eine Untergrenze darstellt, aber die Methode um darauf zu kommen ist mir unklar. Warum sollte ich zuerst die Funktion derart umbauen, dass ich (x + [mm] \bruch{1}{2})^{2} [/mm] + [mm] \bruch{7}{4} [/mm] erhalte? Ich könnte ja auch anders umformen, oder? (Für mich hat das etwas von "Ich kenne die Lösung bereits, also forme ich so um, dass sie auch erscheint") Ich kannte die Lösung aber vorher noch nicht...
Die Verkettung ist mir komplett schleierhaft. Zwar nicht die Methodik, aber wieso ist es nach der Verkettung plötzlich klar, dass x kleiner als [mm] \bruch{7}{4} [/mm] ?
Und warum sollte ich die einzelnen Verkettungselemente u, v, w gerade so wählen und nicht vielleicht komplett anders? (Zum Beispiel v und w zusammenfassen?)
Kurz: Mir fehlt die objektive Methode, oder die Eindeutigkeit so wie beschrieben vorzugehen.
Gibt es da nicht ein zuverlässiges Verfahren, mit dem ich den Bildbereich überprüfen bestimmen kann? Oder ist das diese Verkettung, nachdem ich mit "meinem" Ansatz nicht weitergekommen bin?
2. Aufgabenteil
Auch hier habe ich das Gefühl, der Ersteller der Musterlösung kennt die Lösung bereits vorab und leitet nur darauf hin:
(i) Für [mm] f_{1} [/mm] mittels Gegenbeweis zeigen, dass die Abbildung injektiv ist:
Annahme, dass mit x [mm] \not= [/mm] y [mm] f_{x} [/mm] = [mm] f_{y} [/mm] ist.
[mm] \bruch{1}{x - 2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{y - 2} \to [/mm] x - 2 = y - 2 [mm] \to [/mm] x = y Widerspruch!
Also ist [mm] f_{1} [/mm] injektiv.
(ii) Für [mm] f_{2} [/mm] kann gezeigt werden, dass die Abbildung nicht injektiv ist:
Es reicht ein paar x,< zu finden, mit x [mm] \not= [/mm] y und [mm] f_{x} [/mm] = [mm] f_{y}.
[/mm]
Zum Beispiel x = 0 und y = -1 ergibt [mm] f_{x} [/mm] = 2 = [mm] f_{y}
[/mm]
Meine Fragen:
Der Beweis aus (i) erscheint mir nicht wasserdicht. Wenn ich diese Vorgehensweise analog bei [mm] f_{2} [/mm] anwenden würde, erhielte ich [mm] x^{2} [/mm] + x = [mm] y^{2} [/mm] + y, was dann ebenfalls ein Widerspruch zu der Annahme x [mm] \not= [/mm] y wäre und damit [mm] f_{2} [/mm] als bijektiv gelten müsste. Sehe ich das falsch?
Gibt es da keine eindeutige(re) Methode? Mein Skript als auch zwei meiner Bücher schweigen sich da leider ziemlich aus.
Für Antworten bin ich wirklich dankbar, denn an dieser Aufgabe und deren Lösung bin ich am Verzweifeln.
Vielen Dank.
Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sind die Abbildungen [mm]f_{i}[/mm] : [mm]D_{i} \mapsto \IR[/mm] für
> i [mm]\in[/mm] {1,2} durch
> [mm]f_{1}(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{x - 2}, f_{2}(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + x + 2
>
> 1) Bestimmen Sie für i [mm]\in[/mm] {1,2} die größte Menge [mm]D_{i} \subseteq \IR_{i}[/mm]
> auf der [mm]f_{i}[/mm] definiert ist, sowie den Bildbereich
> [mm]f_{i}(D_{i}).[/mm]
>
> 2) Untersuchen Sie die Abbildungen auf Injektivität
>
> 3) Im Falle der Injektivität bestimme man die
> Umkehrfunktion
Hallo,
zunächst einmal hierzu:
> Auch hier habe ich das Gefühl, der Ersteller der
> Musterlösung kennt die Lösung bereits vorab und leitet nur
> darauf hin:
Das wird in Zunkunft noch häufig der Fall sein, und das ist nicht sehr untypisch:
man kennt die Lösung bzw. hat einen begründeten Verdacht. Nun muß man das beweisen.
Oft interessiert man sich nicht dafür, wie man darauf kommt, oder wie man das berechnet, sondern ob die Behauptung stimmt.
In Vorlesungen ist das doch auch oft so, z.B. bei den Grenzwerten: da fliegen die exotischsten epsilons vom Mathe-Himmel, der Student staunt und wundert sich und fühlt sich geistig etwas minderbemittelt oder v. Mathe-Himmel benachteiligt. In Wahrheit ist das, was präsentiert wird, die Folge umfangreichen Nachdenkens und der Extrakt aus diversen Schmierzettelchen.
(Irgendwann hat man's dann begriffen, und man gestaltet auch seine HÜs ohne langwierige Schmierzettelberechnungen... Ich konnte das nicht sofort!)
> Problematisch wird es mit dem Bildbereich. Hier habe ich
> einfach mal die Umkehrfunktion für [mm]f_{1}(x)[/mm] gebildet (=
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + 2), womit ersichtlich ist, dass dieser [mm]\IR \backslash\{0\}[/mm]
> ist.
Tja, das ist ein Beispiel dafür, wie Du mit Schmierzettelmethoden arbeitest, und möglicherweise wirst Du, wenn Du das in einer HÜ so abgibtst, nicht mit einem Lorbeerkranz behängt:
> einfach mal die Umkehrfunktion
- das ist nicht ganz problematisch...
Woher weißt Du denn, daß es die gibt?
Hast Du bereits auf Bijektivität geprüft?
Ich würde das anders machen:
Behauptung: der Bildbereich ist [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\}.
[/mm]
Bew.:
1. Glaubhaft machen, daß kein Element auf die Null abgebildet wird.
2. Zeigen, daß auf jedes [mm] y\in \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] ein Element abgbildet wird.
Wie? So:
Sei y [mm] \in y\in \IR [/mm] \ [mm] \{0\}.
[/mm]
Es ist [mm] f(\bruch{1}{y}+ 2)=\bruch{1}{(\bruch{1}{y}+ 2) - 2}=y.
[/mm]
Tja...
> Bei [mm]f_{2}(x)[/mm] tue ich mich mit dieser Methode schwer, (x =
> [mm]y^{2}[/mm] + y + 2 ??).
Kein Wunder, die Funktion hat ja keine Umkehrfunktion.
Jetzt könnte man (ganz heimlich!!!) die Funktion mal zeichnen, und man wüßte dann schonmal, was man gerne zeigen möchte - das ist oft sehr hilfreich.
In diesem Fall ist die Sache einfach: man mobilisiert Kenntnisse aus der Mittelstufe und bringt die Parabel in Scheitelpunktform.
Das macht Deine Musterlösung.
Ergebnis
[mm] f_2(x)= [/mm] (x + [mm] \bruch{1}{2})^{2} [/mm] + [mm] \bruch{7}{4}.
[/mm]
Das, was nun folgt in Deiner Musterlösung, finde ich etwas abgedreht - aber es ist richtig.
Der Gedanke: die Funktion ist eine Verkettung v. Funktionen, deren Bildbereiche man bereits irgendwoher kennt.
Ich würde so argumentieren: (x + [mm] \bruch{1}{2})^{2} [/mm] ist stets [mm] \ge [/mm] 0, also ist [mm] f_2(x)\ge \bruch{7}{4}.
[/mm]
Nun würde ich wieder zeigen, daß man tatsächlich für jedes y [mm] \ge \bruch{7}{4} [/mm] ein Element findet, welches drauf abgebildet wird.
> Ich könnte ja auch anders umformen, oder?
Wenn Du eine andere Umformung hast, mit welcher Du das beweisen kannst, ist es völlig in Ordnung.
> Die Verkettung ist mir komplett schleierhaft. Zwar nicht
> die Methodik, aber wieso ist es nach der Verkettung
> plötzlich klar, dass x kleiner als [mm]\bruch{7}{4}[/mm] ?
>
> Und warum sollte ich die einzelnen Verkettungselemente u,
> v, w gerade so wählen und nicht vielleicht komplett anders?
> (Zum Beispiel v und w zusammenfassen?)
Weil man erstens Funktionen verketten möchte, die man kennt, und weil es zweitens der "organische Weg" ist.
Ich habe einen Taschenrechner, der ohne Klammern ist. Da gebe ich es genauso ein, wie in Deiner Aufgabe:
zunächst x+x + [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] den Bildbereich kennt man: danz [mm] \IR
[/mm]
Den Ausdruck quadrieren, aus dem Bildbereich v. oben wird [mm] \IR_{\ge 0}
[/mm]
[mm] \bruch{7}{4} [/mm] addieren: also bekommt man alle Elemente, die größer sind als [mm] \bruch{7}{4}.
[/mm]
> Kurz: Mir fehlt die objektive Methode, oder die
> Eindeutigkeit so wie beschrieben vorzugehen.
Ein immergültiges Kochrezept gibt es hier nicht. Es gibt ja so viele verschiedene Funktionen mit verschiedenen Eigenschaften.
> 2. Aufgabenteil
> (i) Für [mm]f_{1}[/mm] mittels Gegenbeweis zeigen, dass die
> Abbildung injektiv ist:
> Annahme, dass mit x [mm]\not=[/mm] y [mm]f_{x}[/mm] = [mm]f_{y}[/mm] ist.
Injektivität sagt, daß auf jedes Element der Bildmenge genau ein Element des Definitionsbereiches abgebildet wird.
Hier nimmt man an, daß die Funktion nicht injektiv ist, daß als auf ein Element der Bildmenge zwei verschiedene Elemente des Def.bereiches abgebildet werden, und zeigt, daß das nicht der Fall sein kann. Das ist wasserdicht.
An welcher Stelle siehst Du ein Problem?
>
> (ii) Für [mm]f_{2}[/mm] kann gezeigt werden, dass die Abbildung
> nicht injektiv ist:
> Es reicht ein paar x,< zu finden, mit x [mm]\not=[/mm] y und [mm]f_{x}[/mm]
> = [mm]f_{y}.[/mm]
> Zum Beispiel x = 0 und y = -1 ergibt [mm]f_{x}[/mm] = 2 = [mm]f_{y}[/mm]
Ja. Mit einem einzigen Gegenbeispiel läßt sich die Behauptung [mm] "f_2 [/mm] ist injektiv" widerlegen.
Jede Behauptung, für die man ein einziges Gegenbeispiel findet, ist falsch.
Hingegen reichen 1000 Beispiele nicht für eine Beweis der Richtigkeit.
> Wenn
> ich diese Vorgehensweise analog bei [mm]f_{2}[/mm] anwenden würde,
> erhielte ich [mm]x^{2}[/mm] + x = [mm]y^{2}[/mm] + y, was dann ebenfalls ein
> Widerspruch zu der Annahme x [mm]\not=[/mm] y
Wie denn? Ich verstehe nicht, wie Du aus [mm] x^2+x= y^2+y [/mm] folgerst, daß x=y.
Es wird Dir diese Folgerung auch nicht gelingen, denn es ist ja z.b.
[mm] (-2)^2 [/mm] + (-2)= [mm] 1^2 [/mm] +1.
> Gibt es da keine eindeutige(re) Methode? Mein Skript als
> auch zwei meiner Bücher schweigen sich da leider ziemlich
> aus.
Injektivität weist man nach, indem man zeigt, daß aus f(x)=f(y) folgt, daß x=y.
Injektivität widerlegt man überzeugend durch ein Gegenbeispiel.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
vielen Dank für die Hinweise, fühl(t)e mich in der Tat ein wenig minderbemittelt bei den ganzen Aufgaben bzw. deren Lösungen.
Nachdem ich Deinen Text mehrmals durchgegangen bin, ist mir das meiste klar. Fragenteil 2 hake ich komplett ab, da habe ich die Sache schlicht nicht zu Ende gedacht. Und:
> Injektivität weist man nach, indem man zeigt, daß aus
> f(x)=f(y) folgt, daß x=y.
>
> Injektivität widerlegt man überzeugend durch ein
> Gegenbeispiel.
.. wird ja auch genau so in der Musterlösung gemacht und habe ich mit Deiner Ergänzung auch verstanden.
Zurück zu Teil 1. Deine Lösung zur ersten Funktion ist klar und elegant, also auch kein Problem. Bei der zweiten Funktion habe ich eine Rückfrage.
> [mm]f_2(x)=[/mm] (x + [mm]\bruch{1}{2})^{2}[/mm] + [mm]\bruch{7}{4}.[/mm]
>
> Ich würde so argumentieren: (x + [mm]\bruch{1}{2})^{2}[/mm] ist
> stets [mm]\ge[/mm] 0, also ist [mm]f_2(x)\ge \bruch{7}{4}.[/mm]
>
> Nun würde ich wieder zeigen, daß man tatsächlich für jedes
> y [mm]\ge \bruch{7}{4}[/mm] ein Element findet, welches drauf
> abgebildet wird.
Ist letzteres nicht bereits mit dem ersten Schritt erfüllt?
Denn [mm]f_2(x)=[/mm] (x + [mm]\bruch{1}{2})^{2}[/mm] + [mm]\bruch{7}{4} \le \bruch{7}{4}[/mm] bzw. [mm]f_2(x)=[/mm] (x + [mm]\bruch{1}{2})^{2}[/mm] [mm] \le [/mm] 0 gilt - wie von Dir beschrieben - für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
Analog wäre für [mm]f_2(x)=[/mm] (x + [mm]\bruch{1}{2})^{2}[/mm] + [mm]\bruch{7}{4} > \bruch{7}{4}[/mm] die Lösung gleich [mm] \emptyset.
[/mm]
Damit müsste doch eigentlich klar sein, dass tatsächlich alle x auf y [mm] \ge \bruch{7}{4} [/mm] abgebildet werden. Meintest Du das so, oder war ich zu voreilig?
Schöne Grüße,
Christian
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> > Nun würde ich wieder zeigen, daß man tatsächlich für jedes
> > y [mm]\ge \bruch{7}{4}[/mm] ein Element findet, welches drauf
> > abgebildet wird.
>
> Ist letzteres nicht bereits mit dem ersten Schritt
> erfüllt?
> Denn [mm]f_2(x)=[/mm] (x + [mm]\bruch{1}{2})^{2}[/mm] + [mm]\bruch{7}{4} \ge \bruch{7}{4}[/mm]
> bzw. [mm]f_2(x)=[/mm] (x + [mm]\bruch{1}{2})^{2}[/mm] [mm]\ge[/mm] 0 gilt - wie von
> Dir beschrieben - für alle x [mm]\in \IR[/mm]
Hallo,
wer garantiert mir, daß es keine Lücken gibt?
Es könnte doch sein, daß z.B. die Werte [mm] 1234\wurzel{17}*\pi^2, [/mm] 24 und [mm] \bruch{3}{4} [/mm] nicht angenommen werden.
Aus [mm] f_2(x)\ge \bruch{7}{4} [/mm] weiß ich zunächst nur, daß keine kleineren Werte angenommen werden.
Gruß v. Angela
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Uff. Stimmt, Definitionslücken wären damit nicht aufgedeckt. Ich beginne den tieferen Hintergrund für die Zerlegung in einzelne Funktionen zu verstehen.
Mich würde interessieren, wie Du das machen würdest? Über Nullstellenbestimmung, Wendepunkte und - falls es welche gäbe (abgesehen vom Scheitelpunkt) - eine Grenzwertbetrachtung an dieser Stelle?
Mit einer Grafik ist auch erkennbar, dass die Funktion stetig ist, aber das ist mit Sicherheit nicht ausreichend.
Gruß,
Christian
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> Mich würde interessieren, wie Du das machen würdest? Über
> Nullstellenbestimmung, Wendepunkte
Um Himmelswillen!!! Tu das nicht - jedenfalls nicht, wenn Du Mathematik für Mathematiker oder etwas Vergleichbares hörst:
Ihr kennt unter Garantie weder Steigungen noch Wendepunkte...
Ich würde das so machen:
Sei y [mm] \ge \bruch{7}{4}.
[/mm]
[Nun würde ich mir einen Geheimzettel nehmen, [mm] (x+\bruch{1}{2})^2+\bruch{7}{4}=y [/mm] nach x auflösen,
eines der errechneten x nehmen und schreiben: ]
Für alle y [mm] \ge \bruch{7}{4} [/mm] ist [mm] \wurzel{y-\bruch{7}{4} } [/mm] definiert, und es ist
[mm] f_2(\wurzel{y-\bruch{7}{4} } -\bruch{1}{2)})=y, [/mm] also findet man zu jedem y [mm] \ge \bruch{7}{4} [/mm] ein Element des Definitionsbereiches, welches darauf abgebildet wird.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
nein es ist eher Mathematik für Doofe (offiziell wird es Höhere Mathematik für Geodäten, Elektroingenieure und Physiker genannt), zumindest fühle ich mich inzwischen so.
Wie ich sehe würdest Du bei [mm] f_{2} [/mm] analog zu [mm] f_{1} [/mm] vorgehen, das werde ich mir merken, denn damit habe ich zumindest eine Richtschnur für zukünftige Aufgaben.
Vielen herzlichen Dank für Deine ausführliche Hilfe und schöne Grüße,
Christian
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