Bild und Kern einer Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:47 Fr 20.06.2008 | | Autor: | mina88 |
| Aufgabe | Bestimme jewils Bild und Kern von Matrix A. 8 und deren Basis)
1 2 -1 -1 0
A:= -2 1 -2 -2 -3
8 1 4 4 7
7 4 1 1 5
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Ich habe versucht die Aufgabe zu lösen aber bin mir nicht sicher ob das auch wirklich richtig ist, deshalb bitte ich um eure Hilfe.
Also um den Kern zu bestimmen habe ich das LGS Ax=0 gelöst und habe dann folgendes rausbekommen:
[mm] x_5=0 [/mm] ; [mm] x_4=x_4 [/mm] ; [mm] x_3=x_3 [/mm] ; [mm] x_2=[/mm] [mm] \bruch {-3x_3 - 3x_4}{5} [/mm] ;
[mm] x_1=[/mm] [mm] \bruch {4x_3 + 4x_4}{5} [/mm]
wenn ich dies nun als Vektor schreibe und auseinanderziehe erhalte ich :
[mm] x_3[/mm] [mm] \vektor{\bruch{-3}{5}\\\bruch{4}{5}\\1\\0\\0}[/mm] + [mm] x_4[/mm] [mm] \vektor{\bruch{-3}{5}\\\bruch{4}{5}\\0\\1\\0}[/mm]
Die Vektoren nach [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] bilden soweit ich verstanden habe die Basis des Kerns von A.
stimmt das soweit?????
Nun zum Bild:
dafür habe ich raus B(A):=[mm]\vektor{1\\ -2\\8\\7}, \vektor{2\\ 1\\1\\4}, \vektor{-1\\-2\\4\\1}, \vektor{0\\ -3\\7\\5}[/mm]
um die basis zu bestimmen habe ich diese vektoren in ein LGS (matrixschreibweise) gepackt und das gaußeliminationsverfahren angewandt.
wenn ich die vektoren so als matrix schreibe :
1 2 -1 0
-2 1 -2 -3
8 1 4 7
7 4 1 5
bekomme ich dies als basis: B=[mm]\vektor{2\\10\\0\\0}, \vektor{-1\\-8\\0\\0}, \vektor{0\\-6\\-1\\-1}[/mm]
nehme ich jedoch die transponierte dieser matrix erhalte ich:
B= [mm]\vektor{1\\-2\\8\\7}, \vektor{0\\-3\\-2\\0}, \vektor{0\\0\\2\\1} [/mm]
ich weiß nicht was richtig ist.
noch ne zusatzfrage die dimension vom Kern hier ist doch dim2 und die vom Bild dim3 oder?
danke für eure hilfe im voraus....
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> Bestimme jewils Bild und Kern von Matrix A. 8 und deren
> Basis)
>
> 1 2 -1 -1 0
> A:= -2 1 -2 -2 -3
> 8 1 4 4 7
> 7 4 1 1 5
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe versucht die Aufgabe zu lösen aber bin mir nicht
> sicher ob das auch wirklich richtig ist, deshalb bitte ich
> um eure Hilfe.
>
>
> Also um den Kern zu bestimmen habe ich das LGS Ax=0 gelöst
> und habe dann folgendes rausbekommen:
>
> [mm]x_5=0[/mm] ; [mm]x_4=x_4[/mm] ; [mm]x_3=x_3[/mm] ; [mm]x_2=[/mm] [mm]\bruch {-3x_3 - 3x_4}{5}[/mm] ;
>
> [mm]x_1=[/mm] [mm]\bruch {4x_3 + 4x_4}{5}[/mm]
>
>
> wenn ich dies nun als Vektor schreibe und auseinanderziehe
> erhalte ich :
> [mm]x_3[/mm] [mm]\vektor{\bruch{-3}{5}\\\bruch{4}{5}\\1\\0\\0}[/mm] + [mm]x_4[/mm]
> [mm]\vektor{\bruch{-3}{5}\\\bruch{4}{5}\\0\\1\\0}[/mm]
>
> Die Vektoren nach [mm]x_3[/mm] und [mm]x_4[/mm] bilden soweit ich verstanden
> habe die Basis des Kerns von A.
> stimmt das soweit?????
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, völlig richtig bis hierher.
>
> Nun zum Bild:
>
> dafür habe ich raus B(A):=[mm]\vektor{1\\ -2\\8\\7}, \vektor{2\\ 1\\1\\4}, \vektor{-1\\-2\\4\\1}, \vektor{0\\ -3\\7\\5}[/mm]
Genau gesagt ist das Bild die Menge, die von diesen Vektoren erzeugt wird.
Eine Basis des Bildes kannst Du auf zweierlei Arten bekommen:
1. Du nimmst die Matrix von oben und bringst sie auf Zeilenstufenform. Mal angenommen, Du behältst führende Zeilenelemente in Spalte 1, 3, und 5.
Dann sind der 1.,3. und 5 Deiner Startvektoren eine Basis des Bildes.
2. Du legst die Vektoren als Zeilen in eine Matrix und bringst sie auf ZSF. Die Transponierten der Nichtnullzeilen bilden dann eine Basis des Bildes.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Fr 20.06.2008 | | Autor: | mina88 |
erstmal danke für deine antwort!
den zweiten schritt habe ich bereits versucht.
ich habe die vektoren des bildes
>B(A):=[mm]\vektor{1\\ -2\\8\\7}, \vektor{2\\ 1\\1\\4}, \vektor{-1\\-2\\4\\1}, \vektor{0\\ -3\\7\\5}[/mm]
als zeilen in eine matrix übertragen :
[mm] \pmat{1 & -2 & 8 & 7 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ -1 & -2 & 4 & 1\\ 0 & -3 & 7 & 5}
[/mm]
wenn ich dies nun auf zeilenstufenform bringe, und die Zeilen als Vektoren schreibe , erhalte ich folgende Basis:
B= [mm]\vektor{1\\-2\\8\\7}, \vektor{0\\-3\\-2\\0}, \vektor{0\\0\\2\\1}[/mm]
ist das jezt richtig?
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> den zweiten schritt habe ich bereits versucht.
> ich habe die vektoren des bildes
> >B(A):=[mm]\vektor{1\\ -2\\8\\7}, \vektor{2\\ 1\\1\\4}, \vektor{-1\\-2\\4\\1}, \vektor{0\\ -3\\7\\5}[/mm]
>
> als zeilen in eine matrix übertragen :
>
> [mm]\pmat{1 & -2 & 8 & 7 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ -1 & -2 & 4 & 1\\ 0 & -3 & 7 & 5}[/mm]
Diese Vorgehensweise ist auf jeden Fall richtig.
>
> wenn ich dies nun auf zeilenstufenform bringe, und die
> Zeilen als Vektoren schreibe , erhalte ich folgende Basis:
>
>
> B= [mm]\vektor{1\\-2\\8\\7}, \vektor{0\\-3\\-2\\0}, \vektor{0\\0\\2\\1}[/mm]
>
> ist das jezt richtig?
Ich glaube(!), daß Du Dich an irgendeiner Stelle verrechnet hast, der 2. Vektor scheint mir nicht zu stimmen.
Falls Du beim wiederholten Rechnen wieder zum selben Ergebnis kommst, rechne hier ruhig mal vor, wie Du die Matrix umformst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Sa 21.06.2008 | | Autor: | mina88 |
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> Ich glaube(!), daß Du Dich an irgendeiner Stelle verrechnet
> hast, der 2. Vektor scheint mir nicht zu stimmen.
>
> Falls Du beim wiederholten Rechnen wieder zum selben
> Ergebnis kommst, rechne hier ruhig mal vor, wie Du die
> Matrix umformst.
>
> Gruß v. Angela
>
ich hab mich vertippt hier nochmal mein ergebnis :
B= [mm]\vektor{1\\-2\\8\\7}, \vektor{0\\1\\-3\\-2}, \vektor{0\\0\\2\\1}[/mm]
Ich hab nicht genau verstanden, wie die Schreibweise des Bildes ist. Könntest du mir das an einem beispiel zeigen? Ich hatte ja folgendes Ergebnis:
dafür habe ich raus B(A):=[mm] \vektor{1\\ -2\\8\\7}, \vektor{2\\ 1\\1\\4}, \vektor{-1\\-2\\4\\1}, \vektor{0\\ -3\\7\\5} [/mm]
wäre diese schreibweise richtig?:
Bild(A):=span[mm]\{ \vektor{1\\ -2\\8\\7}, \vektor{2\\ 1\\1\\4}, \vektor{-1\\-2\\4\\1}, \vektor{0\\ -3\\7\\5}\} [/mm]
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> ich hab mich vertippt hier nochmal mein ergebnis :
>
> B= [mm]\vektor{1\\-2\\8\\7}, \vektor{0\\1\\-3\\-2}, \vektor{0\\0\\2\\1}[/mm]
Hallo,
ja, das ist richtig.
>
>
> Ich hab nicht genau verstanden, wie die Schreibweise des
> Bildes ist. Könntest du mir das an einem beispiel zeigen?
> Ich hatte ja folgendes Ergebnis:
>
> dafür habe ich raus B(A):=[mm] \vektor{1\\ -2\\8\\7}, \vektor{2\\ 1\\1\\4}, \vektor{-1\\-2\\4\\1}, \vektor{0\\ -3\\7\\5}[/mm]
>
>
> wäre diese schreibweise richtig?:
>
> Bild(A):=span[mm]\{ \vektor{1\\ -2\\8\\7}, \vektor{2\\ 1\\1\\4}, \vektor{-1\\-2\\4\\1}, \vektor{0\\ -3\\7\\5}\}[/mm]
Ja, genau. Das Bild wird aufgespannt von den Spalten der Matrix.
Nun hast Du ja eine Basis berechnet, und Du weißt, daß B(A) auch [mm] =span\{\vektor{1\\-2\\8\\7}, \vektor{0\\1\\-3\\-2}, \vektor{0\\0\\2\\1}\} [/mm] ist.
Ich weise nochmal auf die erste Berechnungsmöglichkeit fürs Bild hin. Ich meine, daß es sich lohnt, die nochmal anzuschauen.
Sie hat den Vorteil, daß Du ja für die Bestimmung des Kerns die matrix sowieso in ZSF bringen mußt. Du kannst an dieser ZSF direkt sehen, welche der Ausgangsvektoren eine Basis bilden - Du sparst also Zeit (Klausur).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Sa 21.06.2008 | | Autor: | mina88 |
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> Ich weise nochmal auf die erste Berechnungsmöglichkeit fürs
> Bild hin. Ich meine, daß es sich lohnt, die nochmal
> anzuschauen.
> Sie hat den Vorteil, daß Du ja für die Bestimmung des
> Kerns die matrix sowieso in ZSF bringen mußt. Du kannst an
> dieser ZSF direkt sehen, welche der Ausgangsvektoren eine
> Basis bilden - Du sparst also Zeit (Klausur).
>
Da hast du recht aber ich habe nicht wirklich verstanden wie ich bei dieser Art vorgehen muss.
Könntest du es an einem Beispiel erläutern?
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Hallo,
sagen wir, ich interessiere mich für die Basis des Bildes von [mm] \pmat{ 1 & 2&1 \\ 1 & 2&1 \1 & 2&2\}.
[/mm]
Umformen in ZSF ergibt [mm] \pmat{ \red{1} & 2&1 \\0& 0&0 \0 & 0& \red{1} \}.
[/mm]
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1 und 3.
Daraus weiß ich, daß die 1. und 3. Spalte meiner Startmatrix eine Basis des Bildes der Matrix ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 So 22.06.2008 | | Autor: | mina88 |
Danke habe es jetzt verstanden !
LG
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