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| Aufgabe | | Bestimmen sie den Kern und das Bild dieser Matrix? [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 4 & -3 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0} [/mm] |
Aus der hier nicht wesentlichen Abbildung habe ich Matrix entwickelt mit
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 4 & -3 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0}. [/mm] Das habe ich auf Zeilenstufenform gebracht und habe erhalten: [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0}.
[/mm]
Hier kann ich ja direkt das Bild ablesen , weil es die Spalten dieser Matrix sind also ist eine Basis des Bildes < (1,0,0,0) , (0,1,0,0) > oder`? Wie finde ich am günstigsten den Kern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 So 28.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Bestimmen sie den Kern und das Bild dieser Matrix? [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 4 & -3 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0}[/mm]
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> Aus der hier nicht wesentlichen Abbildung habe ich Matrix
> entwickelt mit
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 4 & -3 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0}.[/mm] Das habe ich
> auf Zeilenstufenform gebracht und habe erhalten: [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0}.[/mm]
> Hier kann ich ja direkt das Bild ablesen , weil es die
> Spalten dieser Matrix sind also ist eine Basis des Bildes <
> (1,0,0,0) , (0,1,0,0) > oder'? Wie finde ich am günstigsten
> den Kern?
Nein, das Bild ist der von den Spalten der Darstellungsmatrix aufgespannte Raum, also [mm] $$\operatorname{im}\Phi [/mm] = [mm] \left\langle\vektor{1\\4\\1\\2},\vektor{1\\-3\\-1\\0}\right\rangle$$
[/mm]
Aus der Zeilenstufenform kannst du den Kern ablesen: [mm] $\operatorname{ker}\Phi =\{0\}$, [/mm] d.h. [mm] $\Phi$ [/mm] ist injektiv.
Gruß, Robert
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