Bild einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Do 03.06.2010 | | Autor: | Bayer04 |
| Aufgabe | Berechnen Sie eine Basis der linearen Hülle der Spaltenvektoren für A=
1 , -1, -5
3 , 4, 6
-2, 2, 10
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Hallo zusammen,
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht wirklich weiter und hoffe ihr könnt mir da ein bisschen weiterhelfen.
Also, wir wissen ja dass die lineare Hülle der Spaltenvektoren einer Matrix auch als das Bild der Matrix bezeichnet wird).
D.h. ich berechne müsste zuerst das Bild berechnen. Doch was hat dann die Basis damit zu tun?
Im Internet habe ich nicht wirklich was hilfreiches gefunden.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen :(
Ich danke im Voraus.
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Do 03.06.2010 | | Autor: | max3000 |
Ich glaub die Aufgabe zielt darauf ab dass du eine Basis finden sollst, die nur 2 Vektoren beinhaltet, weil die sicherlich linear abhängig sind.
Prüfe also einfach mal nach ob du den dritten Vektor als Linearkombination der beiden anderen darstellen kannst. Wenn ja, würden die ersten beiden Vektoren eine Basis für den Bildraum bilden.
Suche also [mm] \lambda,\mu [/mm] so dass [mm] w=\lambda*u+\mu*v
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Do 03.06.2010 | | Autor: | Bayer04 |
es gibt leider kein [mm] \lambda [/mm] oder [mm] \mu [/mm] die diese Gleichung erfüllen.
D.h. keines der Vektoren lässt sch als LK der anderen darstellen.
Ich denke für das Bild der Matrix kann ich meine Ausgangsmatrix transponieren und anschließend Gauss anwenden.
Die Nicht-Null Zeilen wären dann das Bild von A.
DOch das ist sicherlich nicht die Lösung der Aufgabe ooder?
Gesucht ist doch irgendeine Basis -.-
hmm
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Moin,
du hast $\ A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & -5 \\ 3 & 4 & 6 \\ -2 & 2 & 10 } [/mm] $
Du sollst eine Basis von $\ span [mm] \left( \vektor{ 1 \\ 3 \\ -2 }, \vektor{ -1 \\ 4 \\ 2 }, \vektor{ -5 \\ 6 \\ 10 } \right) [/mm] $ ermitteln.
Wende nun den Gauß-Algorithmus auf die Spalten an. Die nichtverschwindenden Zeilen sind linear maximal linear unabhängig und bilden eine Basis von $\ span [mm] \left( \vektor{ 1 \\ 3 \\ -2 }, \vektor{ -1 \\ 4 \\ 2 }, \vektor{ -5 \\ 6 \\ 10 } \right) [/mm] $
Zu deiner Ausgangsfrage: Die Spalten der Matrix $\ A $ erzeugen den Untervektorraum $\ im \ [mm] \varphi_A [/mm] $ des Zielbereichs der linearen Abbildung, durch die die Matrix eindeutig bestimmt ist.
Dieses Bild ist, wie du bereits sagst, einfach nur die lineare Hülle der Spaltenvektoren.
Gruß
ChopSuey
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