Bild eine lin Abb bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Di 08.09.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
| Aufgabe | Bestimmen sie Basen von Kern und Bild der folgenden linearen Abbildung
f:[mm]\IR^3[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\IR^4[/mm]
f(x1,x2,x3)=(2x1+x2-3x3,x1+2x2,x1-2x3,-x2-x3) |
Hallo.
Den Kern habe ich durch nullsetzen der vier Gleichungen schon berechnet und komme auf (2,-1,1)
Nun habe ich Probleme das Bild zu berechnen, denn ich benötige auf Grund des [mm]\IR^4[/mm] ja 4 Komponenten habe aber nur x1,x2,x3.
Wie gehe ich nun hier vor?
Hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
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Hallo Wurzel2,
> Bestimmen sie Basen von Kern und Bild der folgenden
> linearen Abbildung
> f:[mm]\IR^3[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\IR^4[/mm]
> f(x1,x2,x3)=(2x1+x2-3x3,x1+2x2,x1-2x3,-x2-x3)
> Hallo.
>
> Den Kern habe ich durch nullsetzen der vier Gleichungen
> schon berechnet und komme auf (2,-1,1)
>
> Nun habe ich Probleme das Bild zu berechnen, denn ich
> benötige auf Grund des [mm]\IR^4[/mm] ja 4 Komponenten habe aber
> nur x1,x2,x3.
Die 4 Komponenten erhältst Du durch die Abbildung.
> Wie gehe ich nun hier vor?
Bilde die Einheitsvektoren des [mm]\IR3}[/mm] durch f ab.
> Hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Di 08.09.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
Hallo.
Danke für deine Hilfe.
Ich habe deinen Tipp jetzt mal in die Tat umgesetz und ich hoffe ich habe es richtig gemacht. Nun habe ich folgendes raus für meine 4 Komponenten:
(2,1,1,0), (1,2,0,-1), (-3,0,-2,-1)
Dann habe ich geschaut welche Vektoren linear abhängig sind und bin zu dem Schluss gekommen dass der erste durch die beiden anderen darstellbar ist, wenn man für x1=0,5 und für x2=-0,5 einsetzt.
Somit ist mein Bild <(1,2,0,-1),(-3,0,-2,-1)>
Ist dies so richtig?
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> Somit ist mein Bild <(1,2,0,-1),(-3,0,-2,-1)>
>
> Ist dies so richtig?
Hallo,
das ist so richtig, wobei es bei Deiner Berechnung noch erwähnenswert ist, daß die beiden Vektoren linear unabhängig sind, denn es wird ja sicher nach einer Basis des Bildes gesucht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Di 08.09.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
Hallo.
Gut, dann bin ich glücklich. Danke.
Ich habe nur noch eine Frage bzgl der Dimensionsformel.
Nach meinen Ergebnissen ist ja nun dim f=3
Müsste es denn nicht dim f=4 wegen [mm]\IR^3[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\IR^4[/mm] sein?
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Hallo [mm] \sqrt{2},
[/mm]
> Hallo.
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> Gut, dann bin ich glücklich. Danke.
> Ich habe nur noch eine Frage bzgl der Dimensionsformel.
> Nach meinen Ergebnissen ist ja nun dim f=3
> Müsste es denn nicht dim f=4 wegen [mm]\IR^3[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\IR^4[/mm] sein?
Nein, für eine lineare Abbildung [mm] $f:V\to [/mm] W$ mit $V,W$ endlichdimensional gilt:
$dim(V)=dim(ker(f))+dim(im(f))$
Hier ist [mm] $V=\IR^3$, [/mm] also [mm] $dim\left(\IR^3\right)=3$ [/mm] und $dim(ker(f))=1, dim(im(f))=2$
Passt also 
LG
schachuzipus
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