Bild, Umkehrfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Di 12.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Sei f:((0, [mm] \infty)) \to \IR [/mm] mit f(x) = [mm] \bruch{ln(x)}{x^{2}} [/mm] gegeben. Bestimmen Sie das Bild f((0, [mm] \infty)) [/mm] und alle Intervalle, auf denen f eine differenzierbare Umkehrfunktion besitzt. Berechnen Sie: [mm] (f^{-1})(f(e)). [/mm] |
Guten Tag,
habe die Aufgabe gelöst und würde mich freuen,wenn jemand mal drüber schaut.
f ist als Quotient differenzierbarer Funktionen auf (0, [mm] \inf) [/mm] differenzierbar (und somit auch stetig). Es gilt:
f'(x) = [mm] \bruch{1-2ln(x)}{x^{3}}.
[/mm]
Berechne f'(x) = 0: f'(x) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] e^{\bruch{1}{2}}.(\*)
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0 } [/mm] f(x) = 0, [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 0 [mm] (\* \*)
[/mm]
f'(x) > 0 für x [mm] \in [/mm] (0, [mm] e^{\bruch{1}{2}})
[/mm]
f'(x) < 0 für x [mm] \in (e^{\bruch{1}{2}} [/mm] , [mm] \infty)
[/mm]
[mm] f(e^{\bruch{1}{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{e}} (\* \* \*)
[/mm]
f hat bei x = [mm] e^{\bruch{1}{2}} [/mm] , wegen [mm] (\*), (\* \*) [/mm] und [mm] (\* \* \*) [/mm] ein globales Maximum. Dann ist f((0, [mm] \infty)) [/mm] = [mm] (-\infty, \bruch{1}{\wurzel{e}}). [/mm]
Da f auf den Intervallen (0, [mm] e^{\bruch{1}{2}}), (e^{\bruch{1}{2}}, \infty) [/mm] streng monoton und stetig ist, existiert jeweils eine Umkehrfunktion. f:(0, [mm] e^{\bruch{1}{2}}) \to \IR [/mm] ist stetig und streng monoton. f ist wegen [mm] (\*) [/mm] auf ganz (0, e^ [mm] {\bruch{1}{2}}) [/mm] differenzierbar. Somit ist [mm] f^{-1}: [/mm] f((0, [mm] e^{\bruch{1}{2}}) \to [/mm] (0, [mm] e^{\bruch{1}{2}}) [/mm] differenzierbar. (Anderes Intervall analog).
[mm] (f^{-1})(f(e)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(e)} [/mm] = [mm] -e^{3}.
[/mm]
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Hallo Loriot95,
> Sei f:((0, [mm]\infty)) \to \IR[/mm] mit f(x) = [mm]\bruch{ln(x)}{x^{2}}[/mm]
> gegeben. Bestimmen Sie das Bild f((0, [mm]\infty))[/mm] und alle
> Intervalle, auf denen f eine differenzierbare
> Umkehrfunktion besitzt. Berechnen Sie: [mm](f^{-1})(f(e)).[/mm]
> Guten Tag,
>
> habe die Aufgabe gelöst und würde mich freuen,wenn jemand
> mal drüber schaut.
>
> f ist als Quotient differenzierbarer Funktionen auf (0,
> [mm]\inf)[/mm] differenzierbar (und somit auch stetig). Es gilt:
> f'(x) = [mm]\bruch{1-2ln(x)}{x^{3}}.[/mm]
>
> Berechne f'(x) = 0: f'(x) = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x =
> [mm]e^{\bruch{1}{2}}.(\*)[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0 }[/mm] f(x) = 0,
Das stimmt nicht.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = 0 [mm](\* \*)[/mm]
>
> f'(x) > 0 für x [mm]\in[/mm] (0, [mm]e^{\bruch{1}{2}})[/mm]
> f'(x) < 0 für x [mm]\in (e^{\bruch{1}{2}}[/mm] , [mm]\infty)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]f(e^{\bruch{1}{2}})[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{e}} (\* \* \*)[/mm]
>
> f hat bei x = [mm]e^{\bruch{1}{2}}[/mm] , wegen [mm](\*), (\* \*)[/mm] und
> [mm](\* \* \*)[/mm] ein globales Maximum. Dann ist f((0, [mm]\infty))[/mm] =
> [mm](-\infty, \bruch{1}{\wurzel{e}}).[/mm]
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> Da f auf den Intervallen (0, [mm]e^{\bruch{1}{2}}), (e^{\bruch{1}{2}}, \infty)[/mm]
> streng monoton und stetig ist, existiert jeweils eine
> Umkehrfunktion. f:(0, [mm]e^{\bruch{1}{2}}) \to \IR[/mm] ist stetig
> und streng monoton. f ist wegen [mm](\*)[/mm] auf ganz (0, e^
> [mm]{\bruch{1}{2}})[/mm] differenzierbar. Somit ist [mm]f^{-1}:[/mm] f((0,
> [mm]e^{\bruch{1}{2}}) \to[/mm] (0, [mm]e^{\bruch{1}{2}})[/mm]
> differenzierbar. (Anderes Intervall analog).
>
> [mm](f^{-1})(f(e))[/mm] = [mm]\bruch{1}{f'(e)}[/mm] = [mm]-e^{3}.[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke dir für deine Antwort. Habe nun meine Ergebnisse verbessert. Danke schön :)
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