Bild. Basis. Darstellm. Dimens < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
also meine Fragen lauten:
1. Bild
Um das Bild einer Matrix zu bestimmen, muss ich die Matrix doch transponieren. Dann das Gauß-Algorithmus anwenden. Die von Null verschiedenen Zeilen bilden dann das Bild. Ist das so richtig?? Muss ich nach dem ich Gauß angewandt habe, die Matrix wieder rück transponieren??
2. Basis
Bei der Basis muss ich doch die einzelnen Vektoren zu einer Matrix machen, dann Gauß anwenden. Die von Null verschiedenen Zeilen bilden die Basis.
Wenn ich z.B. den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] habe sollte ich dass dann so in der Matrix schreiben [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] oder so [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 } [/mm] oder ist das egal??
Ist das transponieren der Matrix bei der Berechnung des Bildes der einzige Unterschied zur Basis? ( Nur beim bestimmen)
3. Darstellungsmatrix
Wenn eine Abbildung gegeben ist, ist dann mein Basisvektor z.B. bei einer 3x3 Matrix immer [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}??
[/mm]
4. Dimesion
Ist die Dimension immer die Anzahl der Spalten oder Zeilen?? Oder gibt es dafür ein Verfahren??
Gruß
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Hi
> 1. Bild
> Um das Bild einer Matrix zu bestimmen, muss ich die Matrix
> doch transponieren. Dann den Gauß-Algorithmus anwenden.
> Die von Null verschiedenen Zeilen bilden dann das Bild. Ist
> das so richtig??
Genauer: Sie bilden dann eine Basis des Bilds 
Das Verfahren funktioniert deswegen, weil das Bild der von den Spaltenvektoren erzeugte Raum ist. Durch Transponieren werden die Spaltenvektoren zu Zeilenvektoren und durch Anwendung des Gauß-Algorithmus hast du am Ende von den Nullzeilen abgesehen nur linear unabhängige Vektoren dastehen, die den gleichen Raum aufspannen
> Muss ich nach dem ich Gauß angewandt
> habe, die Matrix wieder rück transponieren??
Nein. Du kannst die Basisvektoren des Bilds direkt von der Zeilenstufenform deiner transponierten Matrix ablesen
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> 2. Basis
> Bei der Basis muss ich doch die einzelnen Vektoren zu einer
> Matrix machen, dann Gauß anwenden. Die von Null
> verschiedenen Zeilen bilden die Basis.
> Wenn ich z.B. den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] habe sollte
> ich dass dann so in der Matrix schreiben [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> oder so [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 }[/mm] oder ist das egal??
Am besten ist es, die Vektoren als Zeilenvektoren hinzuschreiben und dann die Matrix in ZSF zu bringen.
> Ist das transponieren der Matrix bei der Berechnung des
> Bildes der einzige Unterschied zur Basis? ( Nur beim
> bestimmen)
Beim Bestimmen ja. Wenn du eine Basis des Bilds bestimmst, bringst du die transponierte Matrix in ZSF. Wenn du eine Basis des Kerns bestimmst, bringst du die Originalmatrix in ZSF.
> 3. Darstellungsmatrix
> Wenn eine Abbildung gegeben ist, ist dann mein Basisvektor
> z.B. bei einer 3x3 Matrix immer [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] ,
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}??[/mm]
Hier bin ich mir nicht ganz sicher, was du meinst.
Das sind ja die Standardbasisvektoren. Man kann die Darstellungsmatrix natürlich bezüglich den Standardbasisvektoren angeben. Es ist anzunehmen, dass dies auch der Fall ist, wenn durch keine andere Schreibweise verdeutlicht wird, dass die Darstellungsmatrix bezüglich anderen Basen gewählt ist.
Gruß
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Vielen Dank für die schnelle und tolle Antwort.
Könntest du mir noch diese Frage beantworten?
Ist die Dimension immer die Anzahl der Spalten oder Zeilen?? Oder gibt es dafür ein Verfahren??
Gruß
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Hallo
> Vielen Dank für die schnelle und tolle Antwort.
Gern geschehen
> Könntest du mir noch diese Frage beantworten?
> Ist die Dimension immer die Anzahl der Spalten oder
> Zeilen?? Oder gibt es dafür ein Verfahren??
Meinst du die Dimension des Bildes bzw. des Kerns? Dann ist die Dimension jeweils genau die Anzahl an Basisvektoren die du für Bild bzw. Kern ermittelt hast.
Gruß
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Also ich meinte die Dimension einer Matrix. Die Dimension einer 3x3 Matrix ist doch 9 oder??
Gruß
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> Also ich meinte die Dimension einer Matrix. Die Dimension
> einer 3x3 Matrix ist doch 9 oder??
Man spricht dann vom Rang einer Matrix und den kann man nicht allgemein für eine Matrix bestimmen. Der Rang ist gerade die Dimension des Bildes - also des von den Spaltenvektoren aufgespannten Spaltenraums (hier spricht man auch von Spaltenrang).
Eine wichtige Erkenntnis in der linearen Algebra ist, das Spaltenrang=Zeilenrang, wobei der Zeilenrang die Dimension des durch die Zeilenvektoren aufgespannten Raums ist.
Gruß
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Ach so, ok.
Nochmals Dankeschön. Hast mir wirklich geholfen.
Gruß
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