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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Sa 23.11.2013 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | Geben Sie jeweils für die Zuordnungsvorschrift [mm] x\mapsto [/mm] f(x) die größtmögliche Definitionsmenge [mm] D_f\subset\IR [/mm] an. Bestimmen Sie die Wertemenge [mm] W_f [/mm] der Funktion f: [mm] D_f \to\IR. [/mm] Untersuchen Sie f auf Surjektivität und Injektivität. Wie lautet, falls f bijektiv ist, die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}?Kann, [/mm] falls f nicht bijektiv ist, durch die Wahl einer anderen Zielmenge [mm] N\not=\IR [/mm] erreicht werden, dass f: [mm] D_f \toN [/mm] doch bijektiv ist, und wie lautet dann die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}?
[/mm]
a) [mm] x\mapsto [/mm] f(x)=3x+5
b) [mm] x\mapsto f(x)=x^{2n}, n\in\IN\cup{0}
[/mm]
c) [mm] x\mapsto f(x)=x^{2n+1}, n\in\IN\cup{0}
[/mm]
d) [mm] x\mapsto f(x)=\wurzel{3x}
[/mm]
e) [mm] x\mapsto f(x)=\bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
f) [mm] x\mapsto f(x)=\wurzel{x^2+5x+6,25}
[/mm]
g) [mm] x\mapsto f(x)=\bruch{2-x}{3+x}
[/mm]
h) [mm] x\mapsto f(x)=\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}
[/mm]
i) [mm] x\mapsto f(x)=\wurzel{x^2-6x+8} [/mm] |
Nabend,
Habe mich heute mit der Aufgabe rumgeschlagen, und bräuchte etwas hilfe an einigen Stellen.
a) [mm] x\mapsto [/mm] f(x)=3x+5
[mm] D_f=\IR [/mm] , hier bin ich mir nicht sicher, ob man das beweisen muss, oder einfach durch überlegen, vielleicht sogar mit Hilfe einer Wertetabelle, das Ergebnis direkt hinschreiben kann?
[mm] W_f=\IR
[/mm]
f auf Surjektivität zu prüfen war da schon etwas schwieriger. Durch reines nachdenken wird einem klar, dass jedem y-Wert mindestens ein, sogar nur ein, x-Wert zugewiesen wird, aber das muss noch mathematisch bewiesen werden. Habs mir so überlegt:
f(x)=y=3x+5 |-5 [mm] *\bruch{1}{3} [/mm]
[mm] x=\bruch{y-5}{3}, [/mm] d.h. y kann jeden beliebigen Wert mit [mm] y\in\IR [/mm] annehmen und dieses zeigt dann auf ein x-Wert. Würde das einem Mathematiker reichen, oder geht das besser?
Bei der Injektivität wurde mir ein Tipp (Kontraposition) gegeben. f ist Injektiv, eine Gerade ist doch immer injektiv. Habs so probiert:
f ist injektiv, denn laut Def. gilt [mm] x_1\not= x_2\Rightarrow f(x_1)\not= f(x_2) [/mm] und mit Hilfe der Kontraposition gilt [mm] f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 [/mm] darauf folgt:
[mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)
[/mm]
[mm] 3x_1+5 [/mm] = [mm] 3x_2+5 [/mm] |-5 [mm] *\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2, [/mm] somit wie gewünscht "und bewiesen" f injektiv. Da bin ich mir aber ziemlich unsicher, ob das so i.O. ist.
Da f surj und inj ist, ist es auch bijketiv, die Umkehrfuntion lautet [mm] f^{-1}(y)=\bruch{y-5}{3}.
[/mm]
Ist das ok, oder komplett daneben?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Sa 23.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Geben Sie jeweils für die Zuordnungsvorschrift [mm]x\mapsto[/mm]
> f(x) die größtmögliche Definitionsmenge [mm]D_f\subset\IR[/mm]
> an. Bestimmen Sie die Wertemenge [mm]W_f[/mm] der Funktion f: [mm]D_f \to\IR.[/mm]
> Untersuchen Sie f auf Surjektivität und Injektivität. Wie
> lautet, falls f bijektiv ist, die Umkehrfunktion
> [mm]f^{-1}?Kann,[/mm] falls f nicht bijektiv ist, durch die Wahl
> einer anderen Zielmenge [mm]N\not=\IR[/mm] erreicht werden, dass f:
> [mm]D_f \toN[/mm] doch bijektiv ist, und wie lautet dann die
> Umkehrfunktion [mm]f^{-1}?[/mm]
>
> a) [mm]x\mapsto[/mm] f(x)=3x+5
>
> b) [mm]x\mapsto f(x)=x^{2n}, n\in\IN\cup{0}[/mm]
>
> c) [mm]x\mapsto f(x)=x^{2n+1}, n\in\IN\cup{0}[/mm]
>
> d) [mm]x\mapsto f(x)=\wurzel{3x}[/mm]
>
> e) [mm]x\mapsto f(x)=\bruch{1}{1+x^2}[/mm]
>
> f) [mm]x\mapsto f(x)=\wurzel{x^2+5x+6,25}[/mm]
>
> g) [mm]x\mapsto f(x)=\bruch{2-x}{3+x}[/mm]
>
> h) [mm]x\mapsto f(x)=\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}[/mm]
>
> i) [mm]x\mapsto f(x)=\wurzel{x^2-6x+8}[/mm]
> Nabend,
>
> Habe mich heute mit der Aufgabe rumgeschlagen, und
> bräuchte etwas hilfe an einigen Stellen.
>
> a) [mm]x\mapsto[/mm] f(x)=3x+5
>
> [mm]D_f=\IR[/mm] , hier bin ich mir nicht sicher, ob man das
> beweisen muss, oder einfach durch überlegen, vielleicht
> sogar mit Hilfe einer Wertetabelle, das Ergebnis direkt
> hinschreiben kann?
Es gibt keine Einschränkungen an die Werte für x wie Polstellen oder Wurzeln unter denen x steht, also darf x jeden Wert annehmen und damit gilt [mm] x\in\R
[/mm]
> [mm]W_f=\IR[/mm]
>
> f auf Surjektivität zu prüfen war da schon etwas
> schwieriger. Durch reines nachdenken wird einem klar, dass
> jedem y-Wert mindestens ein, sogar nur ein, x-Wert
> zugewiesen wird, aber das muss noch mathematisch bewiesen
> werden. Habs mir so überlegt:
>
> f(x)=y=3x+5 |-5 [mm]*\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]x=\bruch{y-5}{3},[/mm] d.h. y kann jeden beliebigen Wert mit
> [mm]y\in\IR[/mm] annehmen und dieses zeigt dann auf ein x-Wert.
> Würde das einem Mathematiker reichen, oder geht das
> besser?
Wenn Du zu jedem y ein x angeben kannst, s.d. f(x)=y gilt, hast Du die Surjektivität bewiesen und mit Deinem x gilt f(x)=y also ist f surjektiv.
> Bei der Injektivität wurde mir ein Tipp (Kontraposition)
> gegeben. f ist Injektiv, eine Gerade ist doch immer
> injektiv. Habs so probiert:
> f ist injektiv, denn laut Def. gilt [mm]x_1\not= x_2\Rightarrow f(x_1)\not= f(x_2)[/mm]
> und mit Hilfe der Kontraposition gilt
> [mm]f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2[/mm] darauf folgt:
Also Du nimmst an das [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] für [mm] x_1\ne x_2 [/mm] gilt und musst nun zeigen, dass aus der Annahme [mm] x_1=x_2 [/mm] folgt und damit ein Widerspruch.
> [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm]
> [mm]3x_1+5[/mm] = [mm]3x_2+5[/mm] |-5 [mm]*\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2,[/mm] somit wie gewünscht "und bewiesen" f
> injektiv. Da bin ich mir aber ziemlich unsicher, ob das so
> i.O. ist.
>
> Da f surj und inj ist, ist es auch bijketiv, die
Das stimmt.
> Umkehrfuntion lautet [mm]f^{-1}(y)=\bruch{y-5}{3}.[/mm]
> Ist das ok, oder komplett daneben?
>
> Gruß
>
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