Bijektivität,Umkehrf,Monotonie < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Mi 10.12.2008 | | Autor: | ninime |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion
[mm] \mapsto \bruch{3}{4} [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0
f: [mm] \IR \to \IR [/mm] ,x
[mm] \mapsto [/mm] 0 für x=0
bijektiv ist und bestimmen sie die Umkehrfunktion. Untersuchen Sie f auch auf Monotonie. |
Hallo,
als zunächst zu der Aufgabe: die geschweiften Klammern fehlen, das hab ich nicht hinbekommen.
Jetzt weiß ich nicht wie ich zeigen kann, dass die Funktion bijektiv ist. Kann mir bitte jemand erklären wie das geht??
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
lg, ninime
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Das Fehlen geschweifter Klammern irritiert mich gar nicht, sondern die Definition der Funktion.
Kann es sein, dass es [mm] x\mapsto \bruch{3}{4\red{x}} [/mm] für [mm] x\not=0 [/mm] heißen müsste?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Mi 10.12.2008 | | Autor: | ninime |
Hey,
ich hab vergessen die Zahlen auszutauschen, richtig ist
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] für [mm] \not= [/mm] 0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Astor |
Hallo,
Naja, die Hyperbel ist eine injektive Funktion.
für negative x ist sie streng monoton fallend, für positive x streng monoton steigend.
Somit gilt: für x1 ungleich x2 ist auch f(x1) ungleich f(x2)
Surjektiv ist die Funktion auch, da alle reellen Zahlen als Funktionswerte existieren. Die Null hat die Null als Funktionswert. Und z.b 1/3 hat die 3 als Funktionswert.
Astor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Mi 10.12.2008 | | Autor: | reverend |
Die Funktion ist an allen Stellen außer x=0 streng monoton fallend! Bei x=0 besteht normalerweise eine Definitionslücke mit nicht hebbarer Unstetigkeit. Es liegt dort ein ungerader Pol (nämlich ersten Grades) vor. Dieser ist in der vorliegenden Definition "gefüllt" worden, und zwar mit der einzigen Zahl, die bisher in der Bildmenge nicht enthalten war.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mi 10.12.2008 | | Autor: | ninime |
ich hätte bei der Mitteilung "Frage" anklicken sollen, schließlich weiß ich ja noch nicht weiter 
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Du hast ja sooo Recht.
Normalerweise prüfst Du auf Bijektivität, indem du Injektivität und Surjektivität prüfst. Sind beide gegeben, ist die Funktion bijektiv.
Sicherheitshalber würdest Du auch noch prüfen, ob [mm] \IR [/mm] wirklich auf den ganzen [mm] \IR [/mm] abgebildet wird, wie die Aufgabenstellung behauptet. Aber Aufgabenstellungen irren recht häufig...
Ist das alles gegeben, dann ist die Funktion umkehrbar. Das heißt leider noch lange nicht, dass eine Umkehrung explizit angegeben werden kann.
Du könntest hier das Leben recht einfach haben, wenn Du eine Umkehrung findest, die [mm] \IR [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] abbildet. Wenn die nämlich existiert, dann war die Funktion eindeutig bijektiv.
Vertausch doch mal x und y...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Astor |
Die Umkehrfunktion ist laut Hinweis leicht zu lösen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mi 10.12.2008 | | Autor: | ninime |
Normalerweise muss ich doch die Funktionsgleichung nach x auflösen, x und y vertauschen und dann hab ich meine Umkehrfunktion.
Wenn ich das mache hab ich aber [mm] f=f^{-1}
[/mm]
kann das denn stimmen??
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Ja, das kann stimmen und stimmt hier.
Bei der Funktion y=f(x) mit f(x):x [mm] \mapsto [/mm] x wäre das ja auch so.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 10.12.2008 | | Autor: | ninime |
jippieh dann hab ich es ja geschafft  ich danke euch sehr
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