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| Aufgabe | c [mm] \in [/mm] E, die Einheitskreisscheibe. [mm] g_{c}:E \to [/mm] E, z [mm] \mapsto \bruch{z-c}{ \overline{c}z-1} \in [/mm] E. [mm] g_{c} [/mm] wohldefiniert und [mm] g_{c} \in [/mm] Aut(E), d.h. [mm] g_{c}: [/mm] E [mm] \to [/mm] E ist biholomorph. Weiter gilt: [mm] g^{2}_{c}= id_{E}
[/mm]
Zeige: die Abb. [mm] \partial [/mm] E x E [mm] \to [/mm] Aut(E), [mm] (\lambda,c) \mapsto \lambda*g_{c} [/mm] ist bijektiv. |
Hallo Forum,
An manchen Stellen bin ich mir unsicher, deshalb wär es schön, wenn sich mal einer meine Lösung anschauen könnte.
Zu injektiv: Sei [mm] \lambda*g_{c} [/mm] = [mm] \lambda*g_{d} [/mm] wobei [mm] \lambda \in \partial [/mm] E
Dann multipliziere von links mit [mm] \lambda^{-1} [/mm] und erhalte:
[mm] g_{c}=g_{d}, [/mm] also: [mm] \bruch{z-c}{\overline{c}z-1} [/mm] = [mm] \bruch{z-d}{\overline{d}z-1} [/mm] , also folgt daraus: c = d, also [mm] (\lambda,c) [/mm] = [mm] (\lambda,d). [/mm] qed. Stimmt das so?
Zu surjektiv: Ich soll dazu f [mm] \circ g_{f^{-1}(0)} [/mm] betrachten, wobei f [mm] \in [/mm] Aut(E) ist, also f ist eine biholomorphe Abbildung, d.h. eine Abb., die injektiv und holomoprh ist.
Nun ist: [mm] g_{f^{-1}(0)} [/mm] = [mm] \bruch{z-f^{-1}(0)}{f^{-1}(0)z-1}
[/mm]
Wie lautet aber hier das f?... Ist ja nirgendwo gegeben. Bei surjektiv, muss ich ja ein Element der Def.menge finden, für die die Funktion f definiert ist, also hier quasi mein [mm] g_{f^{-1}(0)}. [/mm] Hier bitte ich um Hilfe... wie muss ich heir genau die surjektivität zeigen?
Danke, gruß fs
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Was gleich auffällt: Du mußt bei der Injektivität aus [mm]\lambda \, g_c = \mu \, g_d[/mm] auf [mm]\lambda = \mu[/mm] und [mm]c=d[/mm] schließen.
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