Bijektionen zwischen Mengen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Mo 19.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Geben Sie Bijektionen zwischen folgenden Mengen an:
(a) [mm] \IN \to \IZ
[/mm]
(b) [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN \to \IN
[/mm]
(c) A x (B x C) [mm] \to [/mm] (A x B) x C
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Hallo;
diese Aufgabe sollten wir im Tutorium lösen, jedoch konnte ich gar nichts damit anfangen. Deshalb wollte ich nachfragen, ob ihr mir sagen könnt wo ich ähnliche Aufgaben mit Lösungen (die man "leicht" verstehen kann) finden kann.
Ich bin über jeden Tipp dankbar!
Lg Melisa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Geben Sie Bijektionen zwischen folgenden Mengen an:
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> (a) [mm] \IN \to \IZ
[/mm]
> (b) [mm]\IN \times \IN \to \IN[/mm]
> (c) $\ [mm] A\times [/mm] (B [mm] \times C)\to [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \times [/mm] C$
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> Hallo;
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> diese Aufgabe sollten wir im Tutorium lösen, jedoch konnte
> ich gar nichts damit anfangen. Deshalb wollte ich
> nachfragen, ob ihr mir sagen könnt wo ich ähnliche
> Aufgaben mit Lösungen (die man "leicht" verstehen kann)
> finden kann.
>
> Ich bin über jeden Tipp dankbar!
>
> Lg Melisa
Hallo Melisa,
falls dir Englisch keine echte Fremdsprache ist, könnte
ich dir zum Einstieg in (a) und (b) die folgende Lektüre
empfehlen:
![[]](/images/popup.gif) Hilberts Hotel
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mo 19.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
als erstes mal danke für die schnelle Antwort.
Ehrlich gesagt hab ich es nicht so mit englisch, aber ich schau es mir schonmal an.
Jedoch würde ich mich freuen, wenn jemand noch was auf deutsch hat :)
LG Melisa
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Hi Melisa,
du sollst in allen drei Fällen eine Funktionsvorschrift so finden, dass die Abbilung vom Definitions- in den Zielbereich bijektiv (= injektiv und surjektiv) ist.
a)
$\ [mm] \IN \to \IZ [/mm] $ ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen in die ganzen Zahlen.
Injektiv: $\ [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 \gdw f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] $
Surjektiv: $\ [mm] \forall [/mm] \ y [mm] \in \IZ [/mm] \ \ [mm] \exists [/mm] \ x [mm] \in \IN [/mm] : y = f(x) $
D.h. verschiedene Urbilder dürfen in keinem Fall ein gemeinsames Bild haben und der Zielbereich muss identisch mit dem Bildbereich sein.
Tipp: Teile sowohl die Menge $\ [mm] \IN [/mm] $ als auch $\ [mm] \IZ [/mm] $ jeweils so in "zwei Teile", dass der eine Teil von $\ [mm] \IN [/mm] $ auf den einen Teil von $\ [mm] \IZ [/mm] $ abbildet, und der andere Teil von $\ [mm] \IN [/mm] $ auf den anderen Teil von $\ [mm] \IZ [/mm] $.
Wie könnte man denn $\ [mm] \IN [/mm] $ und $\ [mm] \IZ$ [/mm] jeweils "gliedern" z.B.?
Bei der b)
Hier wird vom Kartesischen Produkt $\ [mm] \IN \times \IN [/mm] $ auf $\ [mm] \IN [/mm] $ abgebildet.
Nennen wir die Abbildung $\ f $, also $\ f: [mm] \IN \times \IN \to \IN [/mm] $
Die Funktion wäre dann so etwas wie $\ (a,b) [mm] \mapsto [/mm] f(a,b) $ wobei $\ (a,b) = [mm] \{(a,b) : a \in \IN \wedge b \in \IN \} [/mm] $
Du musst hier einen Weg finden, alle Wertepaare $\ (a,b) $ so "abzuzählen", dass du auch keines auslässt und gleiche Paare nur ein einziges mal gezählt werden. Hmm, ich hoffe, das stiftet keine Verwirrung.
Hast du schonmal das Cantorsche Diagonalverfahren gesehen? Das wäre so eine Möglichkeit z.b.
Schau mal: [Dateianhang nicht öffentlich]
zur c)
Zu der Aufgabe habe ich mir noch nix überlegt 
Viele Grüße
ChopSuey
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Mo 19.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Melisa,
> als erstes mal danke für die schnelle Antwort.
> Ehrlich gesagt hab ich es nicht so mit englisch, aber ich
> schau es mir schonmal an.
> Jedoch würde ich mich freuen, wenn jemand noch was auf
> deutsch hat :)
Guck mal hier.
LG Felix
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> Hallo Melisa,
>
> > als erstes mal danke für die schnelle Antwort.
> > Ehrlich gesagt hab ich es nicht so mit englisch, aber
> > ich schau es mir schonmal an.
> > Jedoch würde ich mich freuen, wenn jemand noch
> > was auf deutsch hat :)
>
> Guck mal hier.
>
> LG Felix
Ach ja, ich habe wohl die Hotelketten verwechselt:
Hilton mit Hilbert, Cantor mit Carlton oder so ...
 Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Mo 19.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> (c) A x (B x C) [mm]\to[/mm] (A x B) x C
Na, wie waer's mit der Abbildung $(a, (b, c)) [mm] \mapsto [/mm] ((a, b), c)$?
LG Felix
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