Bijektion von \IZ nach [0,1) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Finde eine Bijektion [mm] f:\IZ \to [/mm] [0,1) |
Hallo,
ich habe mir folgendes gedacht:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \\ x*10^{-1}, & \mbox{für } x \mbox{ >0} \\ x*10^{-2}, & \mbox{für } x \mbox{ <0}\end{cases}
[/mm]
Mir fällt hier allerdings auch das Problem auf. f ist nicht surjektiv, da Werte wie, die kleiner als 0,001 sind, nicht angenommen werden können. Das Problem ist aber ja doch, das es theoretisch unendlich viele Nachkommastellen gibt und die der Bereich [0,1) größer ist als [mm] \IZ.
[/mm]
Wie bekomme ich das surjektiv?
Der komplette Rest des Intervall sollte ja abgedeckt sein, da |x [mm] \in \IZ| [/mm] ja beliebig groß sein darf.
Also habe ich weiter überlegt und bin auf das hier gekommen.
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \\ x*10^{-|x|}, & \mbox{für } x \mbox{ >0} \\ x*10^{-|x|-1}, & \mbox{für } x \mbox{ <0}\end{cases}
[/mm]
Hier ist jedoch das Problem, dass ich am Ergebnis nicht mehr eindeutig sagen kann, ob x größer oder kleiner Null war, z.B. wäre f(10)=f(-1)= 0,01
Bitte helft mir auf die Sprünge :)
Ich habe diese Frage in keinem anderen Frum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Finde eine Bijektion [mm]f:\IZ \to[/mm] [0,1)
vergiss die Aufgabe:
[mm] $\IZ$ [/mm] ist abzählbar, aber [mm] $[0,1)\,$ [/mm] ist überabzählbar. Sowas kann es nicht geben.
Oder schreibt ihr
[mm] $[0,1)=\{q \in \IQ:\;\;0 \le q < 1\}$ [/mm] (was man dann als $[0,1) [mm] \cap \IQ$ [/mm] schreiben sollte,
um niemanden zu verwirren...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Auf der Menge [mm] \IR [/mm] sei
x [mm] \sim_\IZ [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x-y [mm] \in \IZ [/mm] eine mittels [mm] \sim_\IZ [/mm] definierte Äuivalenzrelation.
Finden sie eine Bijektion [mm] \IR/_\sim_\IZ \to [/mm] [0,1) |
Das ist die genaue Aufgabenstellung.
Allerdings ist die Menge der Äquivalenzklassen [mm] \IR/_\sim\IZ
[/mm]
ja genau [mm] \IZ, [/mm] wenn ich nicht total daneben liege, oder?
Denn jedes x [mm] \in \IZ [/mm] ist seine eigene Äquivalenzklasse.
|
|
|
| |
|
Hallo,
Du hast die auf [mm] \IR [/mm] definierte Äquivalenzrelation
x [mm] \sim_\IZ [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x-y [mm] \in \IZ \sim_\IZ.
[/mm]
Die Menge der Äquivalenzklassen ist keinesfalls "genau [mm] \IZ".
[/mm]
Überleg' mal: zwei Elemente sind äquivalent, wenn ihre Differenz ganzzahlig ist.
Welche Elemente sind etwa in der Äquivalenzklasse von 5, welche sind also äquivalent zu 5?
[mm] [5]=\{...\}
[/mm]
Welche Elemente sind etwa in der Äquivalenzklasse von 7.1, welche sind also äquivalent zu 7.1?
[mm] [7.1]=\{...\}
[/mm]
Welche Elemente sind etwa in der Äquivalenzklasse von [mm] \wurzel{2}-1, [/mm] welche sind also äquivalent zu [mm] \wurzel{2}-1?
[/mm]
[mm] [\wurzel{2}-1]=\{...\}
[/mm]
Welche Elemente sind etwa in der Äquivalenzklasse von 2, welche sind also äquivalent zu 2?
[mm] [2]=\{...\}
[/mm]
Welche Elemente sind etwa in der Äquivalenzklasse von 0.1, welche sind also äquivalent zu 0.1?
[mm] [0.1]=\{...\}
[/mm]
Welche Elemente sind etwa in der Äquivalenzklasse von [mm] \wurzel{2}+4711, [/mm] welche sind also äquivalent zu [mm] \wurzel{2}+4711?
[/mm]
[mm] [\wurzel{2}+4711]=\{...\}.
[/mm]
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:55 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> Hallo,
>
> Du hast die auf [mm]\IR[/mm] definierte Äquivalenzrelation
> x [mm]\sim_\IZ[/mm] y [mm]\gdw[/mm] x-y [mm]\in \IZ \sim_\IZ.[/mm]
>
> Die Menge der Äquivalenzklassen ist keinesfalls "genau
> [mm]\IZ".[/mm]
vor allem wollte ich hier nochmal ergänzen:
Wenn die Menge der Äquivalenzklassen "genau [mm] $\IZ$" [/mm] wäre, dann würden wir,
aus den genannten Gründen, die Aufgabe gar nicht weiter bearbeiten
(brauchen).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Auf der Menge [mm]\IR[/mm] sei
> x [mm]\sim_\IZ[/mm] y [mm]\gdw[/mm] x-y [mm]\in \IZ[/mm] eine mittels [mm]\sim_\IZ[/mm]
> definierte Äuivalenzrelation.
>
> Finden sie eine Bijektion [mm]\IR/_\sim_\IZ \to[/mm] [0,1)
> Das ist die genaue Aufgabenstellung.
> Allerdings ist die Menge der Äquivalenzklassen
> [mm]\IR/_\sim\IZ[/mm]
das ist doch eine gänzlich andere Aufgabe.
> ja genau [mm]\IZ,[/mm] wenn ich nicht total daneben liege, oder?
Du liegst total daneben.
> Denn jedes x [mm]\in \IZ[/mm] ist seine eigene Äquivalenzklasse.
Unterscheide mal bitte streng zwischen Äquivalenzklassen und ihren
Repräsentanten - denn wenn Du das machst, dann macht der obige
Satz keinen Sinn. Du meinst:
Jedes $x [mm] \in \IZ$ [/mm] ist Repräsentant... naja, von welcher Äquivalenzklasse? Na,
das ist einfach: Von [mm] $[0]_{\sim_{\IZ}}$ [/mm] (Warum?)
(Nebenbei: Das Repräsentanten einer Äquivalenzklasse ihre eigene
Äquivalenzklasse repräsentieren, ist trivial - da steht dann
$x [mm] \sim [/mm] x$ bzw. $x [mm] \in [x]\,,$
[/mm]
was bei jeder Äquivalenzrelation gilt.)
Naja, es gilt für $x,r [mm] \in \IR:$
[/mm]
$x [mm] \in [r]_{\sim_{\IZ}}$ $\iff$ [/mm] $x-r [mm] \in \IZ\,.$
[/mm]
Für speziell $x [mm] \in \IZ$ [/mm] und [mm] $r=0\,$ [/mm] folgt also $x [mm] \in [/mm] [0]$ (ich schreibe nur noch
[mm] $[.]\,$ [/mm] anstatt [mm] $[.]_{\sim_{\IZ}}$ [/mm] für Äquivalenzklassen), weil ...?
Und zur Aufgabe gebe ich Dir mal einen Tipp:
Kennst Du die Gaußklammer [mm] $\lfloor [/mm] . [mm] \rfloor$ [/mm] (ich nehme extra das "Abrundungssymbol",
weil wir [mm] $[.]\,$ [/mm] ja schon "verbraten" haben)? Was ist bspw. [mm] $\lfloor [/mm] e [mm] \rfloor$ [/mm] (ungefähr)?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Ok, ich verstehe das Problem. Ich glaube mir ist der Unterschied zwischen Äquivalenzklasse und Repräsentant einer ÄQ nicht ganz klar.
Ich verstehe das nach den Erklärungen jetzt so:
in z.B. [0.5] sind alle Zahlen, die auf 0.5 Enden, z.B. 5,5 oder 93,5.
In [mm] [\wurzel{3}] [/mm] ist z.B. [mm] \wurzel{3}+4 [/mm] oder [mm] \wurzel{3}-9.
[/mm]
Repräsentanten dieser Klassen sind dann einfach irgendwelche Elemente in ihnen.
Ich könnte auch sagen [0.5]=[93.5].
Daraus schließe ich, dass ein Element aus [mm] \IR [/mm] in derjenigen Äuivalenzklasse ist, die die gleichen Nachkommastellen hat.
Damit ist die Menge der ÄQn doch genau [0,1), da [0]=[1] ist die 1 ausgeschlossen.
Also könnte die Bijektion sein:
[mm] \IR_/\IZ \to [/mm] [0,1) mit [x] [mm] \mapsto [/mm] x
Das funktioniert aber nur, wenn die ÄQ immer nach ihrem kleinsten Element heißt, z.B. [9.5] [mm] \mapsto [/mm] 0.5 ist ja nicht umkehrbar, wenn es nicht egal ist, ob ich [9.5] oder [0.5] schreibe. Stimmt das jetzt so weit?
Danke für die Hilfe!
|
|
|
| |
|
Hallo RunOrVeith,
jetzt kommen wir der Sache doch schon deutlich näher. 
> Ok, ich verstehe das Problem. Ich glaube mir ist der
> Unterschied zwischen Äquivalenzklasse und Repräsentant
> einer ÄQ nicht ganz klar.
War oder ist?
> Ich verstehe das nach den Erklärungen jetzt so:
> in z.B. [0.5] sind alle Zahlen, die auf 0.5 Enden, z.B.
> 5,5 oder 93,5.
> In [mm][\wurzel{3}][/mm] ist z.B. [mm]\wurzel{3}+4[/mm] oder [mm]\wurzel{3}-9.[/mm]
> Repräsentanten dieser Klassen sind dann einfach
> irgendwelche Elemente in ihnen.
> Ich könnte auch sagen [0.5]=[93.5].
> Daraus schließe ich, dass ein Element aus [mm]\IR[/mm] in
> derjenigen Äuivalenzklasse ist, die die gleichen
> Nachkommastellen hat.
Alles richtig.
> Damit ist die Menge der ÄQn doch genau [0,1), da [0]=[1]
> ist die 1 ausgeschlossen.
Nein, eben nicht. Noch hat jede Äquivalenzklasse unendlich viele "Namen", eben weil [mm] [\pi]=[\pi+174] [/mm] ist etc.
> Also könnte die Bijektion sein:
> [mm]\IR_/\IZ \to[/mm] [0,1) mit [x] [mm]\mapsto[/mm] x
> Das funktioniert aber nur, wenn die ÄQ immer nach ihrem
> kleinsten Element heißt,
Eben!
> z.B. [9.5] [mm]\mapsto[/mm] 0.5 ist ja
> nicht umkehrbar, wenn es nicht egal ist, ob ich [9.5] oder
> [0.5] schreibe. Stimmt das jetzt so weit?
Ja, ok. Du musst jetzt nur sicherstellen, dass es sozusagen einen "Hauptrepräsentaten" jeder ÄQ gibt, und dass dieser gerade in [0,1) liegt.
Daher Marcels Hinweis auf die "untere Gaußklammer". Der Hauptrepräsentant der ÄQ [x] ist nämlich dieser: [mm] x-\lfloor{x}\rfloor.
[/mm]
Alles klar?
> Danke für die Hilfe!
Ich bin sicher, dass Marcel diesen Dank auch liest. 
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Ok, ich habe es denke ich verstanden.
Die Lösung wäre dann also:
[x] = { |x|- [mm] \lfloor [/mm] |x| [mm] \rfloor [/mm] | x [mm] \in \IR_/_\IZ},
[/mm]
damit auch die negativen Zahlen den gleichen allgemeinen Repräsentanten haben.
Stimmt das so von der schreibweise her, oder wie/wo definiere ich sonst die allgemeinen Repräsentanten?
und die Bijektion : f: [mm] \IR_/_\IZ \to [/mm] [0,1) [x] [mm] \mapsto [/mm] x
Gruß und Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, ich habe es denke ich verstanden.
>
> Die Lösung wäre dann also:
>
> [mm][x] = \{ |x|- \lfloor |x| \rfloor | x \in \red{\;\IR_/_\IZ}\},[/mm]
am Ende gehört da ein [mm] \IR [/mm] hin!
Schreibe doch besser:
[mm] $[x]=\{r \in \IR:\;\;r-\lfloor r \rfloor\;=\;x-\lfloor x \rfloor\}\,.$
[/mm]
[mm] ($x\,$ [/mm] ist fest!)
Einverstanden? Bei Dir ist übrigens das Problem, dass $x [mm] \in \IR_/_\IZ$ [/mm] bedeuten
würde, dass [mm] $x\,$ [/mm] selbst eine Äquivalenzklasse ist - das meinst Du aber
sicher so nicht...
Ansonsten:
"Lösungen" sind nur mit Beweis gültig. Wie beweist man denn eine (behauptete)
Mengengleichheit?
Ansonsten teste ich es mal: Für $x [mm] \ge 0\,$ [/mm] passt das. Nehmen wir jetzt mal
$x=-0,4$ her - dann sollte $[-0,4]=[0,6]$ (beachte: Äquivalenzklassennotation ist
gemeint!) gelten. (Klar?)
[mm] $|-0,4|-\lfloor [/mm] |0,4| [mm] \rfloor=0,4-0$... [/mm] ups!!!
Tipp: Aber
[mm] $\red{\text{--}}\;\left(|-0,4|\;-\;\red{|}\;\;\lfloor -0,4 \rfloor\red{|}\right)$
[/mm]
sieht ganz gut aus (ich habe also einmal Operationen vertauscht und dann
das ganze noch mit [mm] $-1\,$ [/mm] multipliziert - das kannst Du natürlich auch einfacher
schreiben.
Aber unabhängig davon: Ich darf Dir hier auch was falsches vorschlagen,
denn Du sollst ja beweisen (oder widerlegen), dass mein Vorschlag stimmt
(oder es eben nicht tut).
> damit
> auch die negativen Zahlen den gleichen allgemeinen
> Repräsentanten haben.
> Stimmt das so von der schreibweise her, oder wie/wo
> definiere ich sonst die allgemeinen Repräsentanten?
> und die Bijektion : f: [mm]\IR_/_\IZ \to[/mm] [0,1) [x] [mm]\mapsto[/mm] x
??? Das verstehe ich nicht:
Die Idee ist doch jetzt einfach: Sei $K [mm] \in \IR_/_\IZ\,.$ [/mm] (Die Elemente sind Äquivalenzklassen!
Der Buchstabe [mm] $K\,$ [/mm] soll an "Klasse" erinnern - wobei hier dann $K [mm] \subseteq \IR$ [/mm] gilt.
Klar, oder nicht klar?) Wähle dann ein $x [mm] \in K\,,$ [/mm] es gilt also [mm] $K=[x]\,.$ [/mm] Definiere nun
1. Im Falle $x [mm] \ge 0\,:$
[/mm]
[mm] $f(K):=x-\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$
[/mm]
oder
2. Falls $x < 0:$
[mm] $f(K):=x+|\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor|$
[/mm]
(Hoffen wir mal, dass das passt!)
Das sieht jetzt erstmal auch toll aus - aber was ist denn noch entscheidend?
Naja, [mm] $f\,$ [/mm] muss wohldefiniert sein, d.h.:
Sind $x,y [mm] \in [/mm] K$ (d.h. [mm] $K=[x]=[y]\,$), [/mm] so muss auch
[mm] $f([x])=f([y])\,$
[/mm]
nachgewiesen werden. ("Repräsentantenunabhängigkeit"!)
P.S. Zudem sollte auch $f(K) [mm] \in [/mm] [0,1)$ begründet werden.
P.P.S. Ist Dir schonmal aufgefallen, dass für [mm] $x=-0,4\,$ [/mm] auch
[mm] $0,6=-0,4-\lfloor [/mm] -0,4 [mm] \rfloor=-0,4-(-1)=0,6$
[/mm]
passt? Inwiefern kommen wir damit oben, wenn sich das verallgemeinern
läßt, dann "einfacher weg"?
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
