Bij (X,X) als Gruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für eine Menge X betrachte man die Menge Bij (X,X) der bijektiven Selbstabbildungen. Man prüfe nach, dass Bij (X,X) unter der Kompisition von Abbildungen eine Gruppe bildet. |
Hallo nochmal zusammen 
Eigentlich muss man bei der Aufgabe ja nur die Gruppen-Axiome nachweisen, aber ich bleibe irgendwie bei der Assoziativität hängen. Hier zunächst die anderen Punkte:
Beweis:
(i) z.z. Existenz des neutralen Elementes e mit f [mm] \circ [/mm] e = e [mm] \circ [/mm] f = f
Beh: Das gesuchte neutrale Element ist die Funktion id
Beweis: Zunächst gilt id [mm] \in [/mm] Bij(X,X), da id bijektiv und selbstabbildend ist.
Nun z.z. (f [mm] \circ [/mm] id)(x) = (id [mm] \circ [/mm] f)(x) für alle x
(f [mm] \circ [/mm] id)(x) = f(id(x)) = f(x) = id(f(x)) = (id [mm] \circ [/mm] f)(x)
(ii) z.z. für alle g [mm] \in [/mm] Bij(X,X) ex. [mm] g^{-1} \in [/mm] Bij(X,X) miz g [mm] \circ [/mm] g{-1} = id
Beweis:
g ist bijektiv => UMkehrabbildung [mm] g^{-1} [/mm] existiert mit g [mm] \circ g^{-1}=id [/mm] für alle g
(iii) Asso:
So, was soll ich jetut genau ziegen.... Asso bedeutet ja, dass ich so klammern kann, wie ich möchte, nur wie zeige ich das? mit a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c) = c [mm] \circ [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b) ???
Hilfe wäre prima
Gruß, Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Mi 08.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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