Biholomorphe Abbildungen auf E < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Mi 26.03.2008 | | Autor: | linder05 |
| Aufgabe | Geben Sie biholomorphe Abbildungen spezieller Gebiete auf die Einheitskreisscheibe an (z.B. von Kreisscheiben, Halbebenen, Kreissektoren und Rechtecke, jeweils offen
und in allgemeiner Lage). |
Zum Thema Kreisscheiben und Halbebenen habe ich bereits einiges gefunden (siehe unten). Zu Kreissektoren und Rechtecken allerdings leider nicht... Wer kann mir hier etwas weiterhelfen? Bin für alles dankbar!!
Insbesondere würde mich interessieren, wie sich Kreissektoren mittels Potenzfunktionen auf den Vollkreis abbilden lassen.
Hier also meine bisherigen Gedanken:
(a) Die sog. Cayleyabbildung
[mm] $f_{0}: \mathbb [/mm] H [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] E, [mm] \quad z\mapsto \frac{z-i}{z+i}$
[/mm]
bildet die obere Halbebene auf die Einheitskreisscheibe ab.
(b) Sei [mm] $\mathbb H_{+}$ [/mm] die rechte offene Halbebene. Die Abbildung
[mm] $f_{1}: \mathbb H_{+} \rightarrow \mathbb [/mm] H, [mm] \quad z\mapsto [/mm] iz$
bildet die rechte Halbebene in die obere Halbebene ab. Denn: Sei $z:=x+iy [mm] \in \mathbb H_{+}$ [/mm] (d.h. $x>0$), dann ist [mm] $f_{1}(z)=-y+ix \in \mathbb [/mm] H$. Insgesamt ist dann
[mm] $f_{1}\circ f_{0}: \mathbb H_{+} \rightarrow \mathbb [/mm] E$
die gesuchte biholomorphe Abbildung.
(c) Sei $B(m,r)$ mit [mm] $m\in \mathbb [/mm] C$ und $r>0$ eine beliebige offene Kreisscheibe in [mm] $\mathbb [/mm] C$. Dann wird $B(m,r)$ durch
[mm] $f_{1}: [/mm] B(m,r) [mm] \rightarrow [/mm] B(0,r), [mm] \quad z\mapsto [/mm] z-m$
auf eine Kreisscheibe mit Mittelpunkt $0$ und Radius $r$ abgebildet. Offensichtlich bildet nun die "Schrumpfung"
[mm] f_{2}: [/mm] B(0,r) [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] E, [mm] \quad z\mapsto \frac{1}{r}z$
[/mm]
die Kreisscheibe $B(0,r)$ auf die Einheitskreisscheibe ab. Insgesamt ist also
[mm] $f_{2}\circ f_{1}: [/mm] B(m,r) [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] E$
die gesuchte biholomorphe Abbildung.
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Zum Thema Kreissektoren tut es vielleicht zunächst ein Beispiel. Nehmen wir als Sektor S den offenen achten Teil des Einheitskreises mit den Ecken [mm]0,1,\operatorname{e}^{\operatorname{i} \frac{\pi}{4}}[/mm].
1. Die vierte Potenz [mm]f_1(z) = z^4[/mm] führt [mm]S[/mm] in den oberen Halbkreis über.
2. Mit der Möbius-Transformation [mm]f_2(z) = \frac{z+1}{z-1}[/mm] bildet man den oberen halben Einheitskreis auf den III. Quadranten ab.
3. Die Quadratfunktion [mm]f_3(z) = z^2[/mm] bildet den III. Quadranten auf die obere Halbebene ab.
4. Und jetzt kommt man mit der Möbius-Transformation [mm]f_4(z) = \frac{z - \operatorname{i}}{z + \operatorname{i}}[/mm] zum Einheitskreis [mm]\mathbb{E}[/mm].
Alle angegebenen Abbildungen vermitteln biholomorph zwischen den betreffenden Gebieten:
[mm](f_4 \circ f_3 \circ f_2 \circ f_1)(S) = \mathbb{E}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Do 27.03.2008 | | Autor: | linder05 |
Vielen Dank für deine Antwort, die ich auch verstanden habe.
Noch eine Anmerkung und eine Frage:
1. Einen "beliebigen" Kreissektor, der irgendwo in der komplexen Ebene liegt, kann ich immer per "Verschiebung" und "Schrumpfung" (wie bei mir unter (c) beschrieben) biholomorph in einen Teil des Einheitskreises überführen, oder? Deshalb genügt es auch, Kreissektoren des Einheitskreises zu betrachten, richtig?
2. Könnte man bei deinem Beispiel nicht einfach $z [mm] \mapsto z^8$ [/mm] anwenden, damit man $S$ sofort auf den vollen Einheitskreis abbildet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Do 27.03.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo.
> Noch eine Anmerkung und eine Frage:
>
> 1. Einen "beliebigen" Kreissektor, der irgendwo in der
> komplexen Ebene liegt, kann ich immer per "Verschiebung"
> und "Schrumpfung" (wie bei mir unter (c) beschrieben)
> biholomorph in einen Teil des Einheitskreises überführen,
> oder?
Ja.
> Deshalb genügt es auch, Kreissektoren des
> Einheitskreises zu betrachten, richtig?
Genau.
> 2. Könnte man bei deinem Beispiel nicht einfach [mm]z \mapsto z^8[/mm]
> anwenden, damit man [mm]S[/mm] sofort auf den vollen Einheitskreis
> abbildet?
Nein, da das Bild unter dieser Abbildung der Einheitskreis ohne die Verbindung 0 bis 1 waere: es fehlt also was!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Fr 28.03.2008 | | Autor: | linder05 |
Stimmt, ich hatte übersehen dass der Kreissektor offen ist... Dann gehört natürlich das Intervall von 0 bis 1 weder zum Urbild-Bereich noch zum Bild-Bereich unter der Funktion $z [mm] \mapsto z^8$. [/mm] Das ist doch der Grund, oder?
Und zum Thema offene Rechtecke: Die kann ich natürlich so verschieben und drehen, dass sie z.B. am Nullpunkt anliegen, aber das hilft mir auch nicht unbedingt weiter. Hat da jemand noch nen Tipp, wie man die biholomorph auf die offene Einheitskreisscheibe [mm] $\mathbb [/mm] E$ abbilden kann?
Besten Dank und Viele Grüße,
Christian
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Nach dem Riemannschen Abbildungssatz muß das ja gehen. Ich habe auch in einem älteren Buch das Problem als Übungsaufgabe gefunden. Die Funktion, die dort zur Lösung angeboten wird, ist gebrochen mit einem doppeltquadratischen Polynom im Nenner. Zu allem Überfluß ist über das Ganze auch noch eine Wurzel gezogen (mit der Maßgabe, daß der Zweig zu nehmen sei, der für [mm]\zeta=0[/mm] den Wert 1 liefere). Und zu guter Letzt wird dann in der oberen Halbebene integriert:
[mm]F(z) = \integral \limits_0^z~\sqrt{\frac{1}{(1 - \zeta^2)(1 - k^2 \zeta^2)}}~\mathrm{d}\zeta[/mm] mit einem Parameter [mm]k \in (0,1)[/mm]
Und diese Integralfunktion soll dann angeblich die obere Halbebene auf ein gewisses Rechteck abbilden.
Eine elementare Lösung, die auf geometrischen Grundprozessen aufbaut, fällt mir leider nicht ein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 So 30.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die lösung für Rechteck kreis sind elliptische (doppelt periodische) Funktionen.
z.Bsp Weierstraßsche P funktion)
Ich glaub aber eher, dass du entlang dem Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes ein iteratives Verfahren angeben kannst so ne fkt. zu finden, statt sie explizit anzugeben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mo 31.03.2008 | | Autor: | linder05 |
Vielen Dank für Eure hilfreichen Antworten! Einen Tipp bräuchte ich noch, ich möchte nämlich explizit beweisen, dass
[mm] $f_{0}: \mathbb [/mm] H [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] E, [mm] \quad z\mapsto \frac{z-i}{z+i}
[/mm]
und
[mm] $f_{1}: \mathbb [/mm] E [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] H, [mm] \quad z\mapsto i\frac{1+z}{1-z}$
[/mm]
die Abbildungen sind (Cayley-Abbildung sowie ihre Umkehrabb.), die [mm] $\mathbb [/mm] H$ biholomorph auf [mm] $\mathbb [/mm] E$ abbilden und umgekehrt.
Ich habe dazu folgendes gezeigt:
(i) [mm] $f_{1}\circ f_{0}=id_{\mathbb H}$: [/mm]
Für alle [mm] $z\in \mathbb [/mm] H$ gilt
[mm] $(f_{1}\circ f_{0})(z)=i\frac{1+\frac{z-i}{z+i}}{1-\frac{z-i}{z+i}}=i\frac{z+i+z-i}{z+i-(z-i)}=i\frac{2z}{2i}=z.$
[/mm]
und [mm] $f_{0}\circ f_{1}=id_{\mathbb E}$: [/mm]
Für alle [mm] $z\in \mathbb [/mm] E$ gilt
[mm] $(f_{0}\circ f_{1})(z)=\frac{i\frac{1+z}{1-z}-i}{i\frac{1+z}{1-z}+i}=\frac{i+iz-i+iz}{i+iz+i-iz}=\frac{2iz}{2i}=z.$
[/mm]
(ii) Beide Abbildungen sind holomorph in ihrem Definitionsgebiet, da der Nenner jeweils ungleich Null ist.
Reicht es schon an dieser Stelle aufzuhören?
Oder muss ich noch beweisen, dass [mm] $f_{0}(\mathbb H)\subseteq \mathbb [/mm] E$ und [mm] $f_{1}(\mathbb E)\subseteq \mathbb [/mm] H$ gilt? Beides habe ich schon bewiesen, ich bin mir aber nicht sicher, ob ich das überhaupt angeben muss...
Vielen Dank für eine schnelle Hilfe!! Grüße Christian
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Nein, du hast nicht gezeigt, daß die Abbildungen zwischen der oberen Halbebene und dem Einheitskreis biholomorph vermitteln. Du brauchst schon noch [mm]f_0(\mathbb{H}) = \mathbb{E}[/mm]. Du schreibst zwar anfangs [mm]f_0: \ \mathbb{H} \to \mathbb{E}[/mm], aber das ist zu diesem Zeitpunkt schlichtweg eine Unterstellung.
Du solltest auch nicht von d e r Abbildung der Halbebene auf den Einheitskreis sprechen. Denn davon gibt es ja unendlich viele.
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