Bezout-Koeffizienten und ggT < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Sa 07.09.2013 | | Autor: | jhx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hallo
ich habe für die folgende behauptung nur eine grobe skizze und wollte es mal vollständig aufschreiben. vllt kann mir hier ja jemand sagen, ob das so richtig ist.
behauptung: seien $a,b\in\mathbb{Z}$ nicht beide $=0$. dann gilt: $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=ggT(a,b)\mathbb{Z}$.
beweis: $(i)$ Zu zeigen: $\exists d\in\mathbb{Z}: a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=d\mathbb{Z}$.
setze $d:=min(\mathbb{N}\cap(a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}))$.
$"\supset:"$ sei$ v=dx\in d\mathbb{Z}$. wegen $d\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$ gibt es $u,v\in\mathbb{Z}$, so dass $d=au+bv$. daraus folgt $dx=aux+bvx\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$.
$"\subset":$ sei $v=ax+by\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$. di division mit rest liefert: $ax+by=dq+r$, wobei $q\in\mathbb{Z}$ und $r\in\{0,1,...,d-1\}$ und wegen $d\mathbb{Z}\subset a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$ auch $ax+by-dq=r\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$. aus der minimalität von d folgt $r=0$. also wird $ax+by$ von d geteilt und somit ist $ax+by\in d\mathbb{Z}$.
$(ii)$ zu zeigen ist noch: d=ggT(a,b).
das funktioniert wieder durch division mit rest:
$a=dq+r\Rightarrow a-dq=r\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z$ und wegen der minimalität von d ist $r=0$. also wird a von d geteilt.
dass b von d geteilt wird ist analog beweisbar.
sei $d'$ nun ein gemeinsamer teiler von a und b. dann teilt teilt d' auch alle elemente von $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$ und insbesondere $d\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$.
ist das so richtig?
lg
J
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 So 08.09.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sieht sehr gut aus. Am Ende meinst du aber bestimmt
"sei $ d' $ nun ein gemeinsamer teiler von a und b. dann teilt teilt d' auch alle elemente von $ [mm] a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} [/mm] $ und insbesondere $ d' $ teilt $d$."
oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 So 08.09.2013 | | Autor: | jhx |
ja genau. war nur etwas blöd formuliert.
lg
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