Beweisschritt unklar < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Sa 12.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
| Aufgabe | [mm] (s-1)!=\bruch{(n+s)!}{s(s+1)*...*(s+n)}
[/mm]
[mm] =\bruch{n!*n^{s}}{s(s+1)*...*(s+n)}*\left(\bruch{n+1}{n}*\bruch{n+2}{n}*...*\bruch{n+s}{n}\right)
[/mm]
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Hallo
Ich hänge gerade an diesem Beweisschritt bei der Einführung der Gammafunktion [mm] \Gamma(x)
[/mm]
Dazu noch ein paar Infos: [mm] s\in\IC, n\in\IN
[/mm]
Jetzt soll per Grenzübergang [mm] n\to\infty [/mm] daraus folgen:
[mm] \green{(s-1)!}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!*n^{s}}{s(s+1)*...*(s+n)}
[/mm]
Aber warum? Irgendwie sehe ich das gerade nicht.
Klar ist der linke grün markierte Teil von n unabhängig, und bleibt erhalten, aber irgendwie bekomme ich die rechte Seite nicht in den Griff.
Marius
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Ich würde es so probieren:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n! * n^{s}}{s*(s+1)*...*(s+n)}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n! * n^{s}}{\bruch{(s+n)!}{(s-1)!}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n! * n^{s} * (s-1)!}{(s+n)!}
[/mm]
Jetzt kann man das (s-1)! schonmal rausziehen (Da unabhängig von n)
= (s-1)! * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n! * n^{s}}{(s+n)!}
[/mm]
Jetzt reicht es also zu zeigen, dass der Limes 1 ist...
Mein Ansatz wäre nun:
= (s-1)! * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{s} * n!}{(s + n) * (s - 1 + n) * ... * (1 + n) * n!}
[/mm]
= (s-1)! * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{s}}{(s + n) * (s - 1 + n) * ... * (1 + n)}
[/mm]
Unteres Produkt ausmultiplizieren:
= (s-1)! * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{s}}{s*(s-1)*...*2*1 + ... + n^{s}}
[/mm]
Da s konstant und sowohl im Zähler als auch im Nenner somit die höchste Potenz [mm] n^{s} [/mm] ist, wird auch der Grenzwert 1 sein.
= (s-1)!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Sa 12.01.2008 | | Autor: | felixf |
Moin Marius
> [mm](s-1)!=\bruch{(n+s)!}{s(s+1)*...*(s+n)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{n!*n^{s}}{s(s+1)*...*(s+n)}*\left(\bruch{n+1}{n}*\bruch{n+2}{n}*...*\bruch{n+s}{n}\right)[/mm]
>
>
>
> Hallo
>
> Ich hänge gerade an diesem Beweisschritt bei der Einführung
> der Gammafunktion [mm]\Gamma(x)[/mm]
>
> Dazu noch ein paar Infos: [mm]s\in\IC, n\in\IN[/mm]
>
> Jetzt soll per Grenzübergang [mm]n\to\infty[/mm] daraus folgen:
>
> [mm]\green{(s-1)!}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!*n^{s}}{s(s+1)*...*(s+n)}[/mm]
>
> Aber warum? Irgendwie sehe ich das gerade nicht.
Das ist ganz einfach :)
Entweder du machst es so wie steppenhahn das vorgeschlagen hat, oder du benutzt einfach die Gleichungskette von oben:
Demnach ist naemlich [mm] $\bruch{n!*n^{s}}{s(s+1)*...*(s+n)} [/mm] = [mm] \frac{(s - 1)!}{\left(\bruch{n+1}{n}*\bruch{n+2}{n}*...*\bruch{n+s}{n}\right)}$. [/mm] Um also den Grenzwert Links auszurechnen, reicht es also, ihn Rechts auszurechnen. Und dazu benutze, dass [mm] $\frac{n+i}{n} \to [/mm] 1$ geht fuer $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Sa 12.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Danke euch beiden
Marius
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