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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe 1 | | Zu zeigen: ((A [mm] \Rightarrow [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \Rightarrow [/mm] C)) [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \Rightarrow [/mm] C) ist logisch allgemeingültig. |
| Aufgabe 2 | | Zu zeigen: (A [mm] \wedge \neg{B}) \Rightarrow [/mm] B und [mm] A\Rightarrow [/mm] B sind logisch äquivalent. |
Hi.
Ich brauch Hilfe bzw. einen Ansatz, wie man solche Ausdrücke zu beweisen hat und mit welchem Beweis dies zu machen ist (direkt, indert oder Widerspruchsbeweis). Ich hoffe, mir kann jemand auf die Sprünge helfen. Ich weiß schon was diese Ausdrücke zu bedeuten haben, allerdings fällt mir nichts ein, wie man das außer einer Wahrheitstabelle machen kann, was man hier allerdings nicht machen soll.
Ich bedanke mich schonmal im Voraus!
Ich hab die Frage nur hier im Forum gestellt.
Viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Sa 16.11.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Petrit,
eine Möglichkeit wäre es, die Ausdrücke umzuformen.
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ ist logisch äquivalent zu [mm] $\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B$
Wobei mir die zweite Aufgabe etwas übersichtlicher erscheint. Eventuell fängst du mit dieser erst ein mal an.
So, dann mal los! 
Grüße, Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Erstmal danke für den Tip.
Hab das genaze jetzt mal für die erste Aufgabe ausformuliert und habe nun (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \vee (\neg{A} \wedge [/mm] C) [mm] \vee [/mm] (B [mm] \wedge [/mm] C) [mm] \Rightarrow (\neg{A} \vee [/mm] C). Was kann ich da jetzt damit anfangen? Steh irgendwie auf'm Schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Sa 16.11.2013 | | Autor: | mbra771 |
Ich kann deine Umformung nicht nachvollziehen. Schreib mal Schrittweise, wie du darauf kommst.
... und wie ich bereits schrieb, die zweite Aufgabe ist deutlich leichter.
Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Hi.
Ich habe alles einfach umgewandelt. [mm] ((\neg{A} \vee [/mm] B) [mm] \wedge (\neg{B} \vee [/mm] C)) [mm] \Rightarrow (\neg{A} \vee [/mm] C). Dann habe ich das [mm] \wedge [/mm] ausmultipliziert und bin dann zu diesem Ergebnis gekommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Sa 16.11.2013 | | Autor: | mbra771 |
> Hi.
> Ich habe alles einfach umgewandelt. [mm]((\neg{A} \vee[/mm] B)
> [mm]\wedge (\neg{B} \vee[/mm] C)) [mm]\Rightarrow (\neg{A} \vee[/mm] C).
Soweit ist das richtig.
Weiter kannst du natürlich jetzt das noch verbleibende [mm] \Rightarrow [/mm] ersetzen. Was bekommst du dann?
Es wäre wünschenswert, wenn du die einzelnen Schritte untereinander aufschreiben würdest. Ich bin die komplette Umformung ein mal durchgegangen und komme auf 8 Umformungen.
So verliert man natürlich schnell den Überblick.
Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Was muss denn am Ende dastehen und was kann ich dann daraus folgern. Ich komm einfach nicht drauf. Wäre top, wenn du mir das zeigen könntest.
Schonmal danke im Voraus!
Gruß Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 So 17.11.2013 | | Autor: | mbra771 |
Also ich hätte es wie folgt gemacht:
$((A [mm] \Rightarrow [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \Rightarrow [/mm] C)) [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \Rightarrow [/mm] C)$
[mm] $(\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \wedge (\neg [/mm] B [mm] \vee [/mm] C) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] C)$
[mm] $\neg ((\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \wedge (\neg [/mm] B [mm] \vee [/mm] C)) [mm] \vee (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] C)$
[mm] $\neg(\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \vee \neg(\neg [/mm] B [mm] \vee [/mm] C) [mm] \vee (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] C)$
$(A [mm] \wedge \neg [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (B [mm] \wedge \neg [/mm] C) [mm] \vee \neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] C$
[mm] $(\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] (A [mm] \wedge \neg [/mm] B)) [mm] \vee [/mm] ( C [mm] \vee [/mm] (B [mm] \wedge \neg [/mm] C ))$
[mm] $((\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] A) [mm] \wedge (\neg [/mm] A [mm] \vee \neg [/mm] B)) [mm] \vee [/mm] (( C [mm] \vee [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (C [mm] \vee \neg [/mm] C))$
$ [mm] \neg [/mm] A [mm] \vee \neg [/mm] B [mm] \vee [/mm] C [mm] \vee [/mm] B$
Von den beiden Aussagen $B$ und [mm] $\neg [/mm] B$ muß immer ein Ausdruck wahr sein. Somit ist die Aussage in Aufgabe 1 logisch allgemeingültig.
Natürlich kannst du auch den Weg über die Wahrheitstabellen gehen.
Grüße,
Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:53 So 17.11.2013 | | Autor: | Petrit |
Vielen Dank für die große Hilfe. Ich bin wirklich dankbar, dass ihr mir geholfen habt. Super, danke.
Viele Grüße, Petrit!!!
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Wenn du logische Umformungen machen darfst, brauchst du z.B. b) gar nicht mehr zu beweisen, weil das eine übliche logische Umformung ist. Deshalb vermute ich, dass du den Beweis über die Wahrheitstafel(n) führen sollst, sozusagen über die "Definition" von [mm] \Rightarrow [/mm] bzw. [mm] \wedge.
[/mm]
Für [mm] \wedge [/mm] bzw. [mm] \Rightarrow [/mm] gilt bekanntermaßen:
a b [mm] a\wedge [/mm] b [mm] a\Rightarrow [/mm] b
0 0 0 1
0 1 0 1
1 0 0 0
1 1 1 1
Damit erhältst du:
a b c [mm] x=(a\Rightarrow [/mm] b) [mm] y=(b\Rightarrow [/mm] c) [mm] x\wedge [/mm] y [mm] z=(a\Rightarrow [/mm] c) [mm] (x\wedge y)\Rightarrow [/mm] z
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0 1 1
1 1 0 1 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
[mm] (x\wedge y)\Rightarrow [/mm] z steht für die gesamte Behauptung, und wie man sieht, ist sie immer wahr, also allgemeingültig.
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