Beweisen von Äquivalenzen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Feroxa |
| Aufgabe | Seien A, B, C Mengen. Bweisen sie folgende Äquivalenzen.
1. A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \gdw [/mm] A [mm] \cap [/mm] B = A [mm] \gdw [/mm] A [mm] \cup [/mm] B = B
2. (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \gdw [/mm] C [mm] \subseteq [/mm] A |
Also erstmal hab ich mir klar gemacht was die Aussage überhaupt heißt und bin bei 1. zu dem Ergebnis gekommen dass A = B ist.
Da steht also nun
Voraussetzung : A [mm] \cup [/mm] B = B daraus folgt (meine Überlegung) A [mm] \subseteq [/mm] B
und A [mm] \cap [/mm] B = A daraus folgt B [mm] \subseteq [/mm] A
damit würde die Zeile oben lauten
A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \gdw [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \gdw [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B
dann wäre A [mm] \subseteq [/mm] B = B [mm] \subseteq [/mm] A nach Kommutativgesetz
dann setz ich A [mm] \subseteq [/mm] B = a+(b-a) und
B [mm] \subseteq [/mm] A = b+(a-b)
dann folgt
a+(b-a) = b+(a-b)
a+b-a = b+a-b
b=a
A=B
und bei 2. denk ich dass ganze soll heißen das C [mm] \subseteq [/mm] A ist
da steht dann Voraussetzung: (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)
das wäre dann [mm] (a+b)\*c [/mm] = [mm] a+(b\*c)
[/mm]
ac + bc = bc + a
ac = a
c=1 --> C [mm] \subseteq [/mm] A
meine Frage ist jetzt ob die Beweise so stimmen, ob es zu wenig ist oder ob ich völlig aufm Holzweg bin.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Feroxa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Sa 03.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Seien A, B, C Mengen. Bweisen sie folgende Äquivalenzen.
>
> 1. A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\gdw[/mm] A [mm]\cap[/mm] B = A [mm]\gdw[/mm] A [mm]\cup[/mm] B = B
>
> 2. (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C = A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) [mm]\gdw[/mm] C [mm]\subseteq[/mm]
> A
> Also erstmal hab ich mir klar gemacht was die Aussage
> überhaupt heißt und bin bei 1. zu dem Ergebnis gekommen
> dass A = B ist.
Das ist falsch!
Zeichne dir ne Menge B als Kreis , dann ne Menge A dadrin , viel kleiner. was ist A [mm]\cap[/mm] B , was ist A [mm]\cup[/mm] B
du solltest sehen, dass das beides richtig ist, auch wenn [mm] A\ne [/mm] B
> Da steht also nun
> Voraussetzung : A [mm]\cup[/mm] B = B daraus folgt (meine
> Überlegung) A [mm]\subseteq[/mm] B
> und A [mm]\cap[/mm] B = A daraus folgt B [mm]\subseteq[/mm] A
Das was du schreibst sollst du ja beweisen.
nämlich es ist äquivalent ( in Alltagssprache genausogut
wenn man sagt:
A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]
als wenn man sagt
A [mm]\cap[/mm] B = A
als wenn man sagt
A [mm]\cup[/mm] B = B
d.h. alle 3 Ausdrücke sagen dasselbe über A und B aus.
Um das zu zeigen musst du die Def. der Zeichen verwenden:
Also etwa:
A [mm]\subseteq[/mm] B [mm] heisst jedes Element [mm] a\in [/mm] A ist auch Element von B
oder aus [mm] a\in [/mm] A folgt [mm] a\in [/mm] B.
jetzt zeig, dass dann gilt A [mm]\cap[/mm] B = A
und aus A [mm]\cap[/mm] B = A folgt A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]
immer indem du die Bedeutung der Zeichen durch ne Darstellung in Elementen gibst.
> damit würde die Zeile oben lauten
> A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\gdw[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\gdw[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] B
>
> dann wäre A [mm]\subseteq[/mm] B = B [mm]\subseteq[/mm] A nach
> Kommutativgesetz
>
> dann setz ich A [mm]\subseteq[/mm] B = a+(b-a) und
> B [mm]\subseteq[/mm] A = b+(a-b)
> dann folgt
> a+(b-a) = b+(a-b)
> a+b-a = b+a-b
> b=a
> A=B
>
> und bei 2. denk ich dass ganze soll heißen das C [mm]\subseteq[/mm]
> A ist
Das steht da ja! du sollst wieder zeigen dass aus dem ersten das zweite UND aus dem zweiten das erste folgt!
> da steht dann Voraussetzung: (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C = A [mm]\cap[/mm] (B
> [mm]\cup[/mm] C)
> das wäre dann [mm](a+b)\*c[/mm] = [mm]a+(b\*c)[/mm]
> ac + bc = bc + a
> ac = a
> c=1 --> C [mm]\subseteq[/mm] A
wie du auf die Gleichungen kommst weiss ich nicht, sie haben auch nichts mit dem Problem zu tun.
a,b,c sollen was sein? Elemente de Mengen? die kann man nicht unbedingt addieren oder multipl.! Das könnten doch Katzen und Hunde sein.
Gruss leduart.
Leider stimmen deine Beweise nicht, vorallem, weil du anscheinend nicht verstanden hast, dass du die Aquivalenz der Aussagen beweisen sollst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 So 04.11.2007 | | Autor: | Feroxa |
also ich hab das jetzt nochmal neu gemacht und hoffe dass der Ansatz jetzt etwas richtiger ist als das andere. Hab aber das Gefühl dass ich irgendwo Teilschritte vergessen hab.
Also 1. hab ich erstmal aufgedrösselt.
A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B)
A [mm] \cap [/mm] B [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B)
daraus folgt
x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B
daraus hab ich dann analog den beweis für A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \gdw [/mm] A [mm] \cup [/mm] B = B gemacht und komme auch auf x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B
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> Also 1. hab ich erstmal aufgedrösselt.
>
> A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] B)
> A [mm]\cap[/mm] B [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B)
> daraus folgt
Hallo,
wenn man einen Beweis führen will, muß man sich erstmal überlegen, welche Aussage man gerade beweisen will.
Was sind die Voraussetzungen? Was ist alles zeigen?
Ich will Dir das jetzt an einer Deiner Teilaufgaben demonstrieren.
Behauptung: [mm] A\subseteq [/mm] B ==> A $ [mm] \cap [/mm] $ B = A
Unter der Voraussetzung, daß [mm] A\subseteq [/mm] B gilt, soll also A $ [mm] \cap [/mm] $ B = A gezeigt werden.
A $ [mm] \cap [/mm] $ B = A, das ist eine Gleichheit von Mengen.
Wann sind zwei Mengen gleich? Wenn jede Teilmenge der anderen ist.
Wir haben also zweierlei zu zeigen:
1) [mm] A\subseteq [/mm] B ==> A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A
2) [mm] A\subseteq [/mm] B ==> A [mm] \subseteq [/mm] A $ [mm] \cap [/mm] $ B
Beweis:
zu 1) es sei [mm] A\subseteq [/mm] B .
zu zeigen: A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A, d.h. für alle [mm] x\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B gilt [mm] x\in [/mm] A
Es sei [mm] x\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B.
Nach Def. der Schnittmenge folgt [mm] x\in [/mm] A und [mm] x\in [/mm] B.
Also ist [mm] x\in [/mm] A.
Aus [mm] x\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B folgt also [mm] x\in [/mm] A, und somit ist A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A, was zu zeigen war.
Bem.: diese Aussage gilt immer, völlig unabhängig davon, ob [mm] A\subseteq [/mm] B vorausgesetzt ist oder nicht. Du merkst, daß ich diese Voraussetzung überhaupt nicht benötigt habe.
zu 2) es sei [mm] A\subseteq [/mm] B.
zu zeigen: A [mm] \subseteq [/mm] A $ [mm] \cap [/mm] $ B , d.h. für alle [mm] x\in [/mm] A gilt A $ [mm] \cap [/mm] $ B .
Es sei [mm] x\in [/mm] A.
Nach Voraussetzung liegt x dann auch in B, es ist also [mm] x\in [/mm] A und [mm] x\in [/mm] B,
und nach Def, der Schnittmenge gilt somit [mm] x\in [/mm] A $ [mm] \cap [/mm] $ B.
Also hat man: [mm] x\in [/mm] A ==> [mm] x\in [/mm] A $ [mm] \cap [/mm] $ B, also ist A [mm] \subseteq [/mm] A $ [mm] \cap [/mm] $ B, was zu zeigen war.
Versuch in dem Stil jetzt mal die anderen Teilaussagen.
Alles, was Du tust, mußt Du begründen mit Sätzen und Def. aus der Vorlesung. Stell Dir vor, daß einer neben Dir steht und fragt: "Warum?".
Der Leser muß auf diese Frage sofort eine Antwort geliefert bekommen.
Gruß v. Angela
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