Beweisen einer Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:40 Mi 28.10.2015 | | Autor: | Hamd.44 |
| Aufgabe | Beweisen Sie die Aussage für alle a,b [mm] \in \IR:
[/mm]
Aus 0 < a < b folgt a < [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] < b |
Hey Leute,
ich habe lange über die Aufgabe nachgedacht, und ich habe alle anderen Aufgaben ebenfalls schon bewiesen, aber irgendwie bereitet mir die Aufgabe Kopfschmerzen.
Ich muss aus 0 < a < b die obige Aussage folgen. Nun hab ich versucht auf allen Seiten mit a zu addieren und noch weitere Umformungen zu kreieren, bin jedoch nicht auf die Lösung kommen.
Könnte mir jemand hier vielleicht Abhilfe leisten?
Vg,
Hamd.44
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:54 Mi 28.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo!
Ich würde es in zwei Schritten tun, nämlich einmal die linke Seite der Ungleichung zeigen und dann die rechte, also quasi aufsplitten:
1. a < b
=> a + a < b + a (Ordnungsaxiom: Monotonie der Addition)
<=> a*1 + a*1 < b+a
<=> a*(1+1) < b + a (Distributivgesetz)
<=> 2a < a + b (Kommutativität)
<=> a < [mm] \frac{a+b}{2}
[/mm]
Das Ordnungsaxiom der Monotonie bzgl. Addition gilt für alle reellen Zahlen, also dann sowieso für alle a,b >0.
2. Nun bist du dran :)
VG X³nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:33 Mi 28.10.2015 | | Autor: | Hamd.44 |
Okey ich hab es dank dir doch noch herausgefunden.
2. wäre demnach
a < b
=> a + b < b + b
<=> a + b < b*1 + b*1
<=> a + b < b*(1+1)
<=> a + b < 2*b
<=> [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] < b
Aus 1) und 2) folgt dann auf Grund der Transitivität
a < [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] < b
Nochmals vielen Danke :D
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