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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Do 09.07.2009 | | Autor: | Saraya |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass für beliebige Paare (a; b) reeller Zahlen stets a + b ≤ a² + b² + 1/2 gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also mit ganzen Zahlen geht es auf jeden Fall, da diese durch das quadrieren größer werden. (Bei negativen: minus mal minus gleich plus)
Ich weis jetzt nur nicht wie ich zeigen soll, dass die Formel wirklich für alle Zahlenpaare gilt.
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Hallo!
Bringe alle Terme auf die rechte Seite deiner Ungleichung, sodass nur noch 0 auf der linken steht. Benutze dann für a und b die Termumformung
[mm] $a^{2} [/mm] -a + [mm] \frac{1}{4} [/mm] = [mm] \left(a-\frac{1}{2}\right)^{2} \ge [/mm] 0$.
Dann Schlussfolgerungen ziehen.
Grüße,
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Do 09.07.2009 | | Autor: | Saraya |
tut mir leid aber ich kann dir nicht ganz folgen...wo sind bei dir die b's hin?
wenn ich den term umforme, dann komm ich jetzt auf
0 [mm] \ge [/mm] a² + b²+ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - a - b
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> tut mir leid aber ich kann dir nicht ganz folgen...wo sind
> bei dir die b's hin?
> wenn ich den term umforme, dann komm ich jetzt auf
>
> 0 [mm]\ge[/mm] a² + b²+ [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - a - b
>
>
Das Zeichen ist falsch herum, es heißt:
[mm]a^2+b^2+ \bruch{1}{2}-a-b \ge 0 [/mm]
Sortiere ein bisschen um und teile dann dein [mm] \bruch{1}{2} [/mm] nochmal auf, dann bekommst du zweimal etwas, das aussieht wie in dem Tipp vorher - einmal mit a und einmal mit b. Benutze dann den Tipp und den Rest wirst du dann bestimmt sehen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Do 09.07.2009 | | Autor: | Saraya |
ok ich hab jetzt:
[mm] a²-a+\bruch{1}{4}+b²-b+\bruch{1}{4}\ge0
[/mm]
ich bin aber leider kein genie oder steh grad aufm Schlauch. wie krieg ich das b weg? wie soll ich das umformen?
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> ok ich hab jetzt:
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> [mm]a²-a+\bruch{1}{4}+b²-b+\bruch{1}{4}\ge0[/mm]
>
> ich bin aber leider kein genie oder steh grad aufm
> Schlauch. wie krieg ich das b weg? wie soll ich das
> umformen?
Wie du siehst, ist in deiner Antwort das "hoch 2" verloren gegangen. Das kannst du mit dem "Dächelchen" ^ machen statt der Tastenkombination ALTGR + 2, also etwa so:
[mm]a^2-a+\bruch{1}{4}+b^2-b+\bruch{1}{4}\ge0[/mm]
Stell dir doch einfach noch große Klammern vor:
[mm]\left[ a^2-a+\bruch{1}{4}\right]+ \left[b^2-b+\bruch{1}{4}\right]\ge0[/mm]
Vielleicht siehst du jetzt, wie mit dem ersten Tipp (nicht von mir) die beiden Klammern anders schreiben kannst (Verwendung der binomischen Formel).
Dann nutzt du noch dein Wissen, was mit Zahlen/Termen/Rechenausdrücken passiert, wenn man sie quadriert und schon hast du die Behauptung bewiesen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Do 09.07.2009 | | Autor: | Saraya |
Wie kan ich da binomische formeln anwenden??
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Hallo Saraya!
[mm] $$a^2-a+\bruch{1}{4} [/mm] \ = \ [mm] a^2-2*a*\bruch{1}{2}+\left(\bruch{1}{2}\right)^2 [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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