Beweise zu Kurvenintegrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, habe bei folgender Aufgabe gewisse probleme an die Beweise ranzugehen bzw. fehlt mir der Ansatz:
Sei U: [mm] \IR \to \IR [/mm] durch U(x) := [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-t^{2}}cos(xt) dt} [/mm] gegeben
a) Zeigen Sie die Existenz des Parameterintegrals U(x), d.h. [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-t^{2}}cos(xt) dt} [/mm] < [mm] \infty [/mm] für jedes [mm] x\in\IR [/mm] . Hinweis: [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-t^{2}} dt} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{\pi}}{2} [/mm] = U(0)
b) Zeigen Sie, dass U nach x differenzierbar für alle [mm] x\in\IR [/mm] ist.
c) Zeigen Sie, dass U der Differentialgleichung U'(x) + [mm] \bruch{x}{2}U(x) [/mm] = 0 auf (0, [mm] \infty) [/mm] genügt.
Bitte um Hilfe oder Tipps wie hier anzufangen ist!
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mi 15.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, habe bei folgender Aufgabe gewisse probleme an die
> Beweise ranzugehen bzw. fehlt mir der Ansatz:
>
> Sei U: [mm]\IR \to \IR[/mm] durch U(x) :=
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-t^{2}}cos(xt) dt}[/mm] gegeben
>
> a) Zeigen Sie die Existenz des Parameterintegrals U(x),
> d.h. [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-t^{2}}cos(xt) dt}[/mm] <
> [mm]\infty[/mm] für jedes [mm]x\in\IR[/mm] . Hinweis:
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-t^{2}} dt}[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel{\pi}}{2}[/mm] = U(0)
>
> b) Zeigen Sie, dass U nach x differenzierbar für alle
> [mm]x\in\IR[/mm] ist.
>
> c) Zeigen Sie, dass U der Differentialgleichung U'(x) +
> [mm]\bruch{x}{2}U(x)[/mm] = 0 auf (0, [mm]\infty)[/mm] genügt.
>
> Bitte um Hilfe oder Tipps wie hier anzufangen ist!
Tipp zu a: [mm] $|\cos(xt)|\le [/mm] 1$ für alle reellen x und t. Versuche das Integral U(x) durch U(0) abzuschätzen!
Zu b: Berechne den Differenzenquotienten [mm] $\bruch{U(x+h)-U(x)}{h}$ [/mm] und vertausche den Grenzwert mit dem Integral.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Do 16.10.2008 | | Autor: | Surfer |
Hab mal ne Frage oder ist mein Gedanke hier falsch, ich kann doch zeigen, dass U(0) Minorante zu U(x) ist oder?
Bitte nochmal ne genauere Angabe, irgendwie komm ich nicht wirklich weiter!
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Do 16.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hab mal ne Frage oder ist mein Gedanke hier falsch, ich
> kann doch zeigen, dass U(0) Minorante zu U(x) ist oder?
Du sollst doch zeigen, dass U(x) für alle x endlich ist. Was würde dabei eine Minorante bringen?
Schreib mal auf, was du meinst!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi,
irgendwie weiss ich nicht richtig wie! Also, den ersten Tip den du mir geschrieben hast mit |cos(xt)| [mm] \le [/mm] 1 , darf ich ja so schonmal hinnehmen. Was ja jetzt zu zeigen ist, ist dass U(x) endlich ist bzw. kleiner unendlich? Also muss ich eine Majorante, obere Grenze bestimmen oder wie und somit die Konvergenz nachweisen?
Bitte nochmal um Informationsschub...
lg und danke Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:06 Di 21.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi,
>
> irgendwie weiss ich nicht richtig wie! Also, den ersten Tip
> den du mir geschrieben hast mit |cos(xt)| [mm]\le[/mm] 1 , darf ich
> ja so schonmal hinnehmen. Was ja jetzt zu zeigen ist, ist
> dass U(x) endlich ist bzw. kleiner unendlich? Also muss ich
> eine Majorante, obere Grenze bestimmen oder wie und somit
> die Konvergenz nachweisen?
>
> Bitte nochmal um Informationsschub...
Wenn [mm] \integral_a^b |f(x)| dx[/mm] existiert, so folgt aus [mm]|g(x)|\le|f(x)|[/mm] für alle x, dass
[mm] \integral_a^b |g(x)| dx \le \integral_a^b |f(x)| dx [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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