Beweise im Kontext: Kongruenze < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Beweisen oder widerlegen Sie:
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IZ, [/mm] m [mm] \in \IN: [/mm] a [mm] \equiv [/mm] b (mod m) [mm] \Rightarrow [/mm] ggT (a,m) = ggt (b,m).
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IZ, [/mm] m [mm] \in \IN: [/mm] ggT (a,m) = ggT (b,m) [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \equiv [/mm] b (mod m)
[mm] \forall [/mm] a,b, [mm] a_0, b_0 \in \IZ, [/mm] m [mm] \in \IN:
[/mm]
a [mm] a_0 [/mm] (mod m) [mm] \wedge [/mm] b [mm] \equiv b_0 [/mm] (mod m) [mm] \Rightarrow [/mm] a*b [mm] \equiv a_0 [/mm] * [mm] b_0 [/mm] (mod m). |
| Aufgabe 2 | Beweisen Sie:
Für a,b [mm] \in \IZ [/mm] und m [mm] \in \IN [/mm] und a [mm] \equiv [/mm] b (mod m) gilt:
m | a [mm] \gdw [/mm] m | b.
Beweisen Sie:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] (einschließlich der 0): [mm] 10^n \equiv [/mm] 1 (mod 3).
Hinweis:
Ein Beweis durch vollständige Induktion ist möglich (Es gilt: 10 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3).
Beweisen Sie:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] (einschließlich der 0), a [mm] \in \IZ [/mm] : a * [mm] 10^n \equiv [/mm] a mod 9.
Hinweis:
Sie können Aufgabenteil b) verwenden.
Aufgabenteil d [...] |
Hallo ihr Lieben,
hoffe, ihr könnt mir vielleicht bei dieser Aufgabe helfen.
Erst mal: Ich habe sie sonst in KEINEM anderen Forum gepostet. Nur hier!
Also ich glaube, dass man Aufgabenteil 1b) irgendwie widerlegen kann -.- aber ich weiß nicht so recht, wie ich da irgendwas beweisen kann :(
Bin mit diesen Aufgaben sehr überfordert.
Aufgabenteil 2 und 5 von dem Aufgabenblatt wo ich diese Beweise her habe, hab ich weitestgehend verstanden und auch gelöst. Aber hier weiß ich irgendwie gar nicht weiter :(
Könntet ihr mir Lösungsansätze, Tipps geben?
Mh, Aufgabenteil 1c, könnte irgendwas mit der Transitivität von Kongruenzen zu tun haben?
-.- ich werd mich auf jeden Fall selbst auch noch mal dran versuchen, aber wäre wirklich sehr dankbar für Tipps und Hinweise :(
Bin wieder an dem Punkt, wo ich denke, dass ich die Klausur niemals packen werd :(, wie in jedem Semester....
Danke schon mal im Voraus!
Lg study
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Mo 31.05.2010 | | Autor: | wauwau |
1a
es gilt allgemein: $ggt(a,m)|b [mm] \Rightarrow [/mm] ggt(a,m)|(b,m)$ ist klar oder einfach zu beweisen. Dies ist Lemma 1
$a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod(m) \gdw a=\alpha [/mm] m + b $ daraus folgt
$ggt(a,m) | b$ mit Lemma 1 also $ ggt(a,m)|ggt(b,m)$
aber es folgt auch $ggt(b,m) | a$ also $ggt(b,m)|ggt(a,m)$
und damit $ ggt(a,m)=ggt(b,m)$
(wenn x|y und y|x dann muss x=y gelten!)
1b
a=4,b=2,m=6 ist ein Gegenbeispiel
1c
[mm] $a=\alpha.m+a_0, b=\beta.m+b_0$
[/mm]
[mm] $a.b=\alpha.\beta.m^2+(\alpha.b_0+\beta.a_0).m [/mm] + [mm] a_0.b_0$
[/mm]
daher
$a.b [mm] \equiv a_0.b_0 \mod [/mm] (m)$
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