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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Fr 06.06.2008 | | Autor: | L1NK |
| Aufgabe | Seien a; b; c eIN. Zeigen Sie:
(a) Gilt ggT(a; b; c) x kgV (a; b; c) = a x b x c, dann sind a; b; c paarweise teilerfremd.
(b) ggT(a; b; c) x kgV(ab, bc, ac) = a x b x c
(c) Gilt auch ggT(a; b; c) x kgV (a; b; c) = a x b x c?
(d) Wie müßte ein entsprechender Faktor k mit
ggT(a; b; c; d) x k = a x b x c x d
fur 4 naturliche Zahlen a; b; c; d aussehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Hallo zusammen,
Weiß leider nicht wie ich die Aufgabe zu lösen habe und muss die heute noch per email zur uni schicken...
Hoffe ihr könnt mir helfen
Gruss Stefan
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> Seien a; b; c eIN. Zeigen Sie:
> (a) Gilt ggT(a; b; c) x kgV (a; b; c) = a x b x c, dann
> sind a; b; c paarweise teilerfremd.
> (b) ggT(a; b; c) x kgV(ab, bc, ac) = a x b x c
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> (c) Gilt auch ggT(a; b; c) x kgV (a; b; c) = a x b x
> c?
> (d) Wie müßte ein entsprechender Faktor k mit
> ggT(a; b; c; d) x k = a x b x c x d
> fur 4 naturliche Zahlen a; b; c; d aussehen?
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo zusammen,
> Weiß leider nicht wie ich die Aufgabe zu lösen habe und
> muss die heute noch per email zur uni schicken...
Zu (a): ist p eine beliebige Primzahl und ist [mm] $p^{\underline{n}}$ [/mm] die grösste Potenz von $p$, die a, b und c teilt bzw. ist [mm] $p^{\overline{n}}$ [/mm] die grösste Potenz von $p$, die a, b oder c teilt. Dann steht in der Primfaktorzerlegung der linken Seite der zu beweisenden Behauptung der Primfaktor [mm] $p^{\underline{n}+\overline{n}}$ [/mm] und in der Primfaktorzerlegung der rechten Seite der Primfaktor [mm] $p^{\underline{n}+n+\overline{n}}$, [/mm] wobei [mm] $\underline{n}\leq n\leq \overline{n}$ [/mm] sein muss. Dies ist nur möglich, wenn $n=0$ und daher [mm] $\underline{n}=0$ [/mm] ist.
Da p eine beliebige Primzahl war folgt, dass ggT(a;b;c)=1 bzw. dass a,b,c teilerfremd sind (d.h. nur Primzahlpotenzen [mm] $p^0$ [/mm] als gemeinsame Teiler haben).
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