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| Aufgabe | | Es sei [mm]I := (-1,1)[/mm] und [mm]f:I \to \IR[/mm]. Man zeige Gibt es Zahlen [mm]K>0[/mm] und [mm]\alpha > 1[/mm] mit [mm]\left| f(x)\right| \le K \left|x\right|^{\alpha} [/mm] für alle [mm]x \in I[/mm], so ist f in 0 differenzierbar. |
Hi,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Für gewöhnlich stimmen diese Aussagen auf den Übungsblättern ja, die man beweisen soll. Deshlab wundert es mich gerade, dass ich irgendwie ein Gegenbeispiel gefunden habe.
Die Betragsfunktion [mm]abs(x)[/mm] ist ja bekannterweise nicht differenzierbar in 0. Definiert man sie nun auf dem Interval I, so findet man doch für alle [mm]x \in I\{0}[/mm] nach Eudoxos (ich glaube der war es) passende [mm]\alpha[/mm] und [mm]K[/mm], so dass [mm]\left| f(x)\right| \le K \left|x\right|^{\alpha}[/mm] gilt. Auch für x=0 gilt bei der Betragsfunktion offensichtlich die Voraussetzung... das ist doch aber ein Widerspruch zu der Aussage die man beweisen soll... habe ich da jetzt irgend einen Denkfehler gemacht, oder soll man gerade das zeigen?
Danke schon mal im voraus
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> Es sei [mm]I := (-1,1)[/mm] und [mm]f:I \to \IR[/mm]. Man zeige Gibt es
> Zahlen [mm]K>0[/mm] und [mm]\alpha > 1[/mm] mit [mm]\left| f(x)\right| \le K \left|x\right|^{\alpha}[/mm]
> für alle [mm]x \in I[/mm], so ist f in 0 differenzierbar.
> Für gewöhnlich stimmen diese Aussagen auf den
> Übungsblättern ja, die man beweisen soll. Deshlab wundert
> es mich gerade, dass ich irgendwie ein Gegenbeispiel
> gefunden habe.
Hallo,
damit würde der Traum eines jeden Mathematikstudenten wahr...
Ich finde es gut, wie Du an die Aufgabe herangehst! Beispiele suchen, Behauptung teste, gucken ob es Gegenbeispiele gibt.
> Die Betragsfunktion [mm]abs(x)[/mm] ist ja bekannterweise nicht
> differenzierbar in 0. Definiert man sie nun auf dem
> Interval I, so findet man doch für alle [mm]x \in I \{0}[/mm] nach
> Eudoxos (ich glaube der war es) passende [mm]\alpha[/mm] und [mm]K[/mm], so
> dass [mm]\left| f(x)\right| \le K \left|x\right|^{\alpha}[/mm] gilt.
Die Voraussetzung Deiner Aufgabe ist anders:
Die Funktion f ist so, daß Du mit ein und demselben [mm] \alpha [/mm] und K auskommst, egal welche Stelle x Du gerade betrachtest. [mm] \alpha [/mm] und K sind hier fest und unabhängig v. x.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Di 22.01.2008 | | Autor: | pelzig |
für [mm] $\alpha [/mm] = K = 1$ ist doch aber [mm] $|abs(x)|=|x|\le 1*|x|^1 [/mm] = |x|$ trivialerweise erfüllt, sogar für alle [mm] $x\in\IR$... [/mm] (?)
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Hallo,
[mm] \alpha [/mm] darf aber nicht =1 sein.
Gruß v. Angela
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Ja ok, die Aufgabenstellung habe ich tatsächlich verdreht. Aber dennoch. Man muss ja noch nicht einmal [mm]\alpha=1[/mm] wählen. Jedes [mm]\alpha<1[/mm] vergrößert doch sogar noch die Funktionswerte von [mm]abs(x)[/mm], da die Funktion ja nur auf [mm]I:=(-1,1)[/mm] definiert wurde. Wenn man jetzt ein [mm]K \ge 1[/mm] wählt hat man gar keinen Stress und die Bedingung ist für jedes [mm]x\inI[/mm] erfüllt... und das auch bei einem festen K und [mm]\alpha[/mm] wie ja gefordert wurde.
Hab ich da immer noch einen Fehler, der mir nicht auffällt?
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> Ja ok, die Aufgabenstellung habe ich tatsächlich verdreht.
> Aber dennoch. Man muss ja noch nicht einmal [mm]\alpha=1[/mm]
> wählen. Jedes [mm]\alpha<1[/mm] vergrößert doch
Hallo,
gefordert ist a>1.
Gruß v. Angela
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hmm, ok, lesen sollte man zumindest können...
ich bedanke mich schon mal so weit und versuche mich jetzt mal an der Aufgabe in der Form, in der sie wahrscheinlich auch Sinn macht...
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