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| Aufgabe | Zu erbringen ist der Beweis,
dass wenn der Abstand d(x) eines Punktes P zu dem Graphen einer beliebiegen Funktion f(x) etremal ist, dann folgt,
dass die Strecke PE durch den 1.Punkt P und den 2.Punkt E des extremalen Abstandes orthogonal zu f´(xe) sei,
d.h. zu der Tangente der Funktion am besagten Etremalpunt E(xe/ye)
zu zeigen ist also, dass f´(xe) = -1/ mg
(mg: steigung der der gerade g, welche v* PE sein)
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/248956,0.html
hi,
ich möchte im folgenden versuchen, einen Beweis zu der Orthogonalität zweier Gerade zueinander zu erbringen. Zwar bin nach einigen Mühen endlich zu einem Ergebniss gekommen, stehe dem aber selber etwas skeptisch gegenüber. Vielleicht könnte sich hier jemand das ganze mal zu gemüte führen. danke
nun zum Beweis
Behauptung:
Wenn der Abstand d(x) eines Punktes P zu dem Graphen einer beliebiegen Funktion f(x) etremal ist, dann folgt,
dass die Strecke PE durch den 1.Punkt P und den 2.Punkt E des extremalen Abstandes orthogonal zu f´(xe) sei,
d.h. zu der Tangente der Funktion am besagten Etremalpunt E(xe/ye)
zu zeigen ist also, dass f´(xe) = -1/ mg
(mg: steigung der der gerade g, welche v* PE sein)
1)
1.1) P (xo/yo)
1.2) E (xe(ye)
1.3) PE = d(x) = wurzel aus((xe+xo)² + (ye-yo)²)
- (nach Pythagoras: c²=b² + a²)
Dadurch, dass wenn die Hypothenuse c extremal sei, damit auch die Katheten extremal seien, sagen wir
1.4) d(x)² = D(x)
D(x) = (xe-xo)² + (ye-yo)²
durch ableiten erhalten wir:
D´(x) = 2(xe-xo) + 2(ye-yo)
und da es sich um ein Etremum handelt: D´(x) = 0
0 = (xe-xo) + (ye-yo)
durch umformen:
(xe-xo) = (yo-ye)
2)
zurück zu der Orthogonaltität.
Wir übertragen in die Analytische Geometrie und geben f´(xe) sowie mg als Richtungsvektoren ihrer Geraden an:
mg [mm] \gdw [/mm] b(pfeil) = ( xe - xo )( ye - yo )
f´(xe) [mm] \gdw [/mm] a(pfeil) = lim ( x - xe )( y - yo )
x [mm] \to [/mm] xo
3)
da wir nachwievor bahaupten, dass wenn a(pfeil) orthogonal zu b(pfeil) ist, sei das skalarprodukt der beiden = 0,
d.h. a(pfeil) * b(pfeil) = 0 ( herleitung hirrvon spare ich mir an der stelle)
es folgt:
0 = lim (xe-xo)*(x-xe) + (ye-yo)*(y-ye)
x [mm] \to [/mm] xe
!!!!!!!!!!!!! hier aufgepasst, denn hier ist mein Problem!
ich will nun weiterumformen, so dass:
lim (xe-xo)*(x-xe) = (yo-ye)*(ye-y)
x [mm] \to [/mm] xe
nun lasse ich x gegen xe sein und es sei(???) (x-xe)=0 und (ye-y)=0
wir erhalten (0)(xe-xo)=(0)(yo-ye) an dieser Stelle ignoriere ich die 0^^
und wäre damit wieder bei D´(x), womit der Beweis abgeschlossen wäre.
Mein Problem bezieht sich natürlich auf den lim. Kann mir da bitte wer weiterhelfen. ist sehr wichtig für mich, weil ich den beweis dienstag vorstellen soll.
Habe ne Wette mit meiner Mathelehrerin am laufen;)
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 So 08.11.2009 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du D'(x) bildest, was ist Dein x? Du hast da [mm] x_e [/mm] und [mm] y_e, [/mm] die sich beide ändern.
Ich könnte das viel besser lesen, wenn Du den Formeleditor benutzen würdest.
Ich glaube, Du hast aber die richtige Idee.
Wie ist es mit folgendem Weg:
Gegeben ist eine Gerade: $g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{x_s}+t \overrightarrow{r}$
[/mm]
Weiterhin ist gegeben $P = [mm] (x_0/y_0)$, [/mm] der nicht auf der Geraden liegt.
Behauptung: Wenn der Abstand von P zu einem Punkt $E = [mm] (x_e/y_e)$ [/mm] auf g minimal ist, dann ist die Gerade PE senkrecht zu g.
Schreib die beiden Geradengleichungen hin. Nimm, wie Du es schon getan hast, die beiden Punkte. Dann siehst Du, wie [mm] x_e [/mm] und [mm] y_e [/mm] über die Geradengleichung zusammenhängen (das macht Dir das Leben leichter, Dein allgemeiner Ansatz müsste auch gelingen.) Du kannst nun als Variable, nach der Du ableitest, x nehmen, oder auch t (aus $g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{x_s}+t \overrightarrow{r}$).
[/mm]
Wenn so das t für den minimalen Abstand gefunden ist, dann kannst Du auch den Richtungsvektor der anderen Geraden berechnen.
Skalaprodukt der beiden Richtungsvektoren = 0 fertig.
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