Beweis zu Markow Ketten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Mo 05.08.2013 | | Autor: | johnny23 |
Liebes Forum,
ich beschäftige mich gerade mit Markow-Ketten und lese das Kapitel 8 aus Rosanow Wahrscheinlichkeitstheorie. Nun hänge ich an einem Beweis, den ich nicht nachvollziehen kann und würde mich sehr über eure Hilfe freuen!
Ich versuche es kurz zu machen, falls Fragen auftauchen, bitte einfach nachfragen.
Beweis im Buch: [mm] \Xi(n) [/mm] n=1,2,... ist Markow-Kette mit Übergangswahrscheinlichkeiten [mm] p_{ij} [/mm] und Anfangszustand [mm] \Xi(0)=\varepsilon_{i}. [/mm] Nun setze [mm] u_{n}=p_{ii}(n) [/mm] (Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich das System in n Schritten wieder in [mm] \varepsilon_{i} [/mm] befindet, also dass das System nach n Schritten wieder zurückkehrt) und [mm] v_{n} [/mm] sei die Wahrscheinlichkeit, dass das System nach n Schritten erstmalig in den Zustand [mm] \varepsilon_{i} [/mm] zurückkehrt. Mit [mm] u_{0}=1 [/mm] und [mm] v_{0}=0 [/mm] gilt dann:
[mm] u_{n}=u_{0}v_{n}+u_{1}v_{n-1}+...+u_{n-1}v_{1}+u_{n}v_{0}
[/mm]
- Der Beweis geht über die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit. Diesen habe ich verstanden und er ist auch gut nachvollziehbar.
Nun werden die folgenden erzeugenden Funktionen betrachtet:
[mm] U(z)=\summe_{k=0}^{\infty}u_{k}z^{k} [/mm] und [mm] V(z)=\summe_{k=0}^{\infty}v_{k}z^{k} [/mm] mit [mm] |z|\le1
[/mm]
Mit Hilfe dieser Funktionen wird dann die obige Formel umgeschrieben zu:
[mm] U(z)-u_{0}=U(z)V(z)
[/mm]
!Diesen Schritt kann ich nicht nachvollziehen. Warum ist das so?!
Daraus ergibt sich dann:
[mm] U(z)=\bruch{1}{1-V(z)} [/mm]
Und plötzlich steht dann im Buch im nächsten Satz:
Der Wert [mm] v=\summe_{k=0}^{\infty}v_{k}
[/mm]
ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System irgendwann einmal in den Ausgangszustand zurückgelangt.
Dann folgt ein neuer Absatz.
Also wie gesagt, den einen Zwischenschritt mit den erzeugenden Funktionen kann ich nicht nachvollziehen und mit ist auch völlig unklar, warum am Ende auf einmal der Wert v auftaucht. Es wird kein Satz bewiesen und es wird sich auch nicht an einer Fragestellung entlang gehangelt. Was der Autor mit der Rechnung zeigen will ist mir zur Zeit leider noch unklar.
Vielen Dank für jede Hilfe!
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Mo 05.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Liebes Forum,
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> ich beschäftige mich gerade mit Markow-Ketten und lese das
> Kapitel 8 aus Rosanow Wahrscheinlichkeitstheorie. Nun
> hänge ich an einem Beweis, den ich nicht nachvollziehen
> kann und würde mich sehr über eure Hilfe freuen!
>
> Ich versuche es kurz zu machen, falls Fragen auftauchen,
> bitte einfach nachfragen.
> Beweis im Buch: [mm]\Xi(n)[/mm] n=1,2,... ist Markow-Kette mit
> Übergangswahrscheinlichkeiten [mm]p_{ij}[/mm] und Anfangszustand
> [mm]\Xi(0)=\varepsilon_{i}.[/mm] Nun setze [mm]u_{n}=p_{ii}(n)[/mm] (Das ist
> die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich das System in n
> Schritten wieder in [mm]\varepsilon_{i}[/mm] befindet, also dass das
> System nach n Schritten wieder zurückkehrt) und [mm]v_{n}[/mm] sei
> die Wahrscheinlichkeit, dass das System nach n Schritten
> erstmalig in den Zustand [mm]\varepsilon_{i}[/mm] zurückkehrt. Mit
> [mm]u_{0}=1[/mm] und [mm]v_{0}=0[/mm] gilt dann:
>
> [mm]u_{n}=u_{0}v_{n}+u_{1}v_{n-1}+...+u_{n-1}v_{1}+u_{n}v_{0}[/mm]
>
> - Der Beweis geht über die Formel für die totale
> Wahrscheinlichkeit. Diesen habe ich verstanden und er ist
> auch gut nachvollziehbar.
>
> Nun werden die folgenden erzeugenden Funktionen
> betrachtet:
>
> [mm]U(z)=\summe_{k=0}^{\infty}u_{k}z^{k}[/mm] und
> [mm]V(z)=\summe_{k=0}^{\infty}v_{k}z^{k}[/mm] mit [mm]|z|\le1[/mm]
>
> Mit Hilfe dieser Funktionen wird dann die obige Formel
> umgeschrieben zu:
>
> [mm]U(z)-u_{0}=U(z)V(z)[/mm]
>
> !Diesen Schritt kann ich nicht nachvollziehen. Warum ist
> das so?!
Berechne U(z)V(z) mit dem Cauchyprodukt !
>
> Daraus ergibt sich dann:
>
> [mm]U(z)=\bruch{1}{1-V(z)}[/mm]
Das folgt aus [mm]U(z)-u_{0}=U(z)V(z)[/mm] und [mm] u_0=1.
[/mm]
>
> Und plötzlich steht dann im Buch im nächsten Satz:
>
> Der Wert [mm]v=\summe_{k=0}^{\infty}v_{k}[/mm]
>
> ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System
> irgendwann einmal in den Ausgangszustand zurückgelangt.
Es war doch
$ [mm] v_{n} [/mm] $ = Wahrscheinlichkeit, dass das System nach n Schritten erstmalig in den Ausgangszustand zurückgelangt.
Was liefert also die [mm] \sigma [/mm] - Additivität des W . -Maßes in Bezug auf
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}v_{k} [/mm] ?
FRED
>
> Dann folgt ein neuer Absatz.
>
> Also wie gesagt, den einen Zwischenschritt mit den
> erzeugenden Funktionen kann ich nicht nachvollziehen und
> mit ist auch völlig unklar, warum am Ende auf einmal der
> Wert v auftaucht. Es wird kein Satz bewiesen und es wird
> sich auch nicht an einer Fragestellung entlang gehangelt.
> Was der Autor mit der Rechnung zeigen will ist mir zur Zeit
> leider noch unklar.
>
> Vielen Dank für jede Hilfe!
>
> Viele Grüße!
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Hey FRED,
vielen Dank für die schnelle Antwort! Du hast mir sehr geholfen.
Zwei kleine Fragen habe ich aber noch:
Um die Gleichung [mm] U(z)-u_{0}=U(z)V(z) [/mm] nachvollziehen zu können, habe ich mit das Chauchy Produkt angeschaut. Dann habe ich einfach mal drauf los gerechnet und Tatsache, bis n=3 haut die Gleichung auch hin! Nun sollte man das aber auch allgemein zeigen können und da hängst bei mir.
Hatte mir überlegt:
Nach der Formel für [mm] u_{n}=u_{0}v_{n}+u_{1}v_{n-1}+...+u_{n-1}v_{1}+u_{n}v_{0} [/mm] wäre dann doch [mm] u_{n}=\summe_{k=1}^{n}u_{n-k}v_{k} [/mm] (also noch [mm] +u_{n}v_{0}=0)
[/mm]
Dann wäre doch [mm] U(z)=\summe_{n=0}^{\infty}u_{n}z^{n}=U(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=1}^{n}u_{n-k}v_{k}z^{n}
[/mm]
Für das CP U(z)V(z) erhalte ich [mm] U(z)V(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=1}^{n}u_{n-k}z^{n-k}v_{n}z^{n}
[/mm]
Wie ist dabei die Gleichheit gegeben? Oder ist in der Notation schon ein Fehler?
Außerdem am Rande: Wieso sind U(z) und V(z) eigentlich absolut konvergent?
Dann weiter zum zweiten Problemchen:
Aufgrund der Sigma-Additivität des Wkeitsmaßes ist [mm] P(\bigcup_{i=1}^{\infty}v_{i})=\summe_{i=1}^{\infty}P(v_{i}) [/mm] wenn [mm] v_{i} [/mm] das Ereignis ist, dass das System im i-ten Schritt erstmal zum Ausgangszustand zurückkehrt.
(Im Buchtext ist v kein Ereignis, sondern ja schon diese Wahrscheinlichkeit)
Also inhaltlich ist diese Gleichung klar. Nur ich frag emich die ganze Zeit, was diese dann mit dem Vorherigen zu tun hat. Ich hatte eigentlich erwartet, dass die vorherigen Bemühungen diese Gleichung herleiten sollen...
Vielen Dank und viele Grüße!
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Hallo,
also ich habe mich nochmal rangesetzt und würde gerne wissen, ob die Beweisführung nun korrekt ist. Ich glaube ich hatte mich zuvor verschrieben. Also:
[mm] u_{n}=\summe_{k=0}^{n}u_{n-k}v_{k} [/mm] für n=1,2,... und k=1,2,...,n
[mm] U(z)=\summe_{n=0}^{\infty}u_{n}z^{n}
[/mm]
wenn man nun einsetzt:
[mm] U(z)=u_{0}+\summe_{n=1}^{\infty}z^{n}(\summe_{k=0}^{n}u_{n-k}v_{k})
[/mm]
Aus U(z) und V(z) das Chauchy Produkt berechnen liefert:
[mm] U(z)V(z)=\summe_{n=0}^{\infty}z^{n}(\summe_{k=0}^{n}u_{n-k}v_{k})=\summe_{n=1}^{\infty}z^{n}(\summe_{k=0}^{n}u_{n-k}v_{k}) [/mm] da [mm] v_{0}=0 [/mm] und daher kann auch bei n=1 begonnen werden.
So ergibt sich schließlich: [mm] U(z)-u_{0}=U(z)V(z)
[/mm]
So korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Do 08.08.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 07.08.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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