Beweis zu Fibonacci Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:52 Sa 28.02.2009 | | Autor: | sonja412 |
| Aufgabe | Ich brauche einen Ansatz, um folgendes zu Beweisen:
[mm] F(n)^2+F(n+1)^2=F(2n+1)
[/mm]
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(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Habe das ganze schon per vollst.Induktion versucht, scheiter aber immer am Quadrat. Beim Ausmultiplizieren wird der Term nur länger und länger und länger. Gibt es noch andere Wege dies zu beweisen? Oder wie muss ich ansetzen um hier ne vollst Induktion hinzukriegen???
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Induktion scheint mir keine üble Idee zu sein.
Wie Du das genau machst, hängt sicher davon ab, was Ihr bisher über Fibonacci-Zahlen gezeigt habt, ob Du also Zugriff auf Bewiesenes hast.
Wenn Dir [mm] f_{2n} [/mm] = [mm] f_n\; (f_{n+1}+f_{n-1}) [/mm] zur Verfügung steht, bist Du recht fix am Ziel.
Vielleicht sagst Du mal, was Ihr bereits gezeigt habt und wie Du Deinen Beweis begonnen hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:10 Sa 28.02.2009 | | Autor: | sonja412 |
Hallo,
vielen Dank erstmal für die schnelle Hilfe. Werd gleich mal ausprobieren wie weit ich damit komme.
Bis jetzt habe ich lediglich folgende Formeln:
[mm] \summe_{i=1}^{n}F(k)=F(n+2)-1
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}F(2k-1)=F(2n)
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}F(2k)=F(2n+1)-1
[/mm]
welche ich selbst auchschon durh Induktion hergeleitet hab.
Bei den quadrierten Fibos hab ich die Ind. allerdings erst durch normales ausmultiplizieren versucht, in der hoffnung dass sich die hälfte hinterher wegkürzt  tats leider nicht ^^
Das blöde Quadrat geht nie weg. Die einzige Formel die ich für quadrierte fibos gefunden hab ist
[mm] F(n+1)^2=4F(n)F(n-1)+F(n-2)^2
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 11:40 Sa 28.02.2009 | | Autor: | sonja412 |
Hallo angela.
ich komme jetzt auf das richtige ergebnis...glaube ich.
[mm] F_{n+1}^2+F_{n+2}^2
[/mm]
[mm] =(F_{n-1}+F_{n})^2+(F_{n}+F_{n+1})^2
[/mm]
[mm] =F_{n-1}^2+F_{n}^2+F_{n}^2+F_{n+1}^2+2F_{n-1}F_{n}+2F_{n}F_{n+1}
[/mm]
folgenden schritt hab ih noch nicht so ganz erstanden (fehlt mir wohl mal wieder ne formel zu...KANNST DU MIR DA NOCHMAL HELFEN??), da hatte mein lehrer mir beim ansatz geholfe, bzw. scheiterte dann selber an dem rest
[mm] =F_{2(n-1)+1}+F_{2n+1}+F_{n+1}^2+2F_{n-1}F_{n}+2F_{n}F_{n+1}
[/mm]
[mm] =F_{2n-1}+F_{2n}+F_{2n+1}+F_{2n}
[/mm]
[mm] =F_{2n+1}+F_{2n+2}
[/mm]
[mm] =F_{2(n+1)+1}
[/mm]
womit ich meinen beweis hab...
..daaaankeschön nochmal. voll genial *megafreu*
nur den einen schritt in der mitte...weißt du da noch ne hilfe, wie man darauf kommt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Sa 28.02.2009 | | Autor: | sonja412 |
achja....und der ehrlichkeit zuliebe: ist für meine facharbeit, hab aber alle seiten schon ausgedruckt und werd die an den anhang heften. nur als mein lehrer selbst keine antwort wusste um den beweis herzuleiten wusst ich mir echt keinen anderen rat mehr. und hergeleitet hab ich den beweis ja letztendlich alleine. mir hat nur die formel gefehlt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 Mo 02.03.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Induktion scheint mir keine üble Idee zu sein.
Ja.
> Wie Du das genau machst, hängt sicher davon ab, was Ihr
> bisher über Fibonacci-Zahlen gezeigt habt, ob Du also
> Zugriff auf Bewiesenes hast.
>
> Wenn Dir [mm]f_{2n}[/mm] = [mm]f_n\; (f_{n+1}+f_{n-1})[/mm] zur Verfügung
> steht, bist Du recht fix am Ziel.
Ja, mit der Gleichung sind es nur ein paar Zeilen.
Allerdings: wie beweist man dann diese Gleichung? Diese bekommt man wiederum mit der Gleichung, die Sonja zeigen will, gezeigt.
Wenn man beim Beweisen allerdings gut aufpasst, sieht man folgendes: man kann per Induktion wunderbar beide Gleichungen zusammen beweisen!
Man zeigt also per Induktion: fuer $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt $F(2 n) = F(n) (F(n + 1) + F(n - 1))$ und $F(2 n + 1) = [mm] F(n)^2 [/mm] + [mm] F(n+1)^2$.
[/mm]
Im Induktionsschritt zeigt man zuerst (mit Hilfe der beiden Gliechungen aus der Induktionsvoraussetzung) die Gleichung fuer $F(2 (n + 1)) = F(2 n + 2)$, und dann mittels dieser die Gleichung fuer $F(2 (n + 1) + 1) = F(2 n + 3)$: beide male kann man naemlich $F(k)$ als $F(k - 1) + F(k - 2)$ schreiben und kann auf $F(k - 1)$ und $F(k - 2)$ jeweils das vorher gezeigte oder die Induktionsvoraussetzung anwenden (hier ist $k = 2 n + 2$ oder $2 k + 3$).
LG Felix
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> > Wenn Dir [mm]f_{2n}[/mm] = [mm]f_n\; (f_{n+1}+f_{n-1})[/mm] zur Verfügung
> > steht, bist Du recht fix am Ziel.
>
> Ja, mit der Gleichung sind es nur ein paar Zeilen.
>
> Allerdings: wie beweist man dann diese Gleichung? Diese
> bekommt man wiederum mit der Gleichung, die Sonja zeigen
> will, gezeigt.
Hallo,
das war mir dann beim Versuch, das eben mal schnell zu zeigen, auch aufgefallen.
Ich hab' ziemlich viel Papier verbraucht beim Versuch, Sojas Induktion auf die Spur zu kommen...
Schön, daß ich nun doch nicht sterben muß ohne zu wissen, wie das geht. Danke, danke, danke!
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sonja!
Eine Holzhammermethode (und alles andere als elegant, meine ich), wäre das Einsetzen der expliziten Form für die Glieder der Fibonacci-Folge (siehe dazu ![[]](/images/popup.gif) hier) in die zu zeigende Gleichung.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Sa 28.02.2009 | | Autor: | sonja412 |
dankeschön...aber bis jetzt hab ich alle beweise ohne binet hingekriegt. das hätte zu sehr an meinem ego gekratzt, das jetzt auf so unschöne art und weise zu versuchen. außerdem hab ichs jetzt ja hingekriegt 
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