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Forum "Algebra" - Beweis von Ungleichungen
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Beweis von Ungleichungen: Aufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:18 Do 21.10.2010
Autor: Jacky321

Aufgabe
Zu beweisen ist die Verträglichkeit einer Ordnung mit Addition und Multiplikation:
- m,n>0 [mm] \Rightarrow [/mm] m*n>0
- [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] : m<n [mm] \gdw [/mm] m+k < n+k
- [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN \backslash \{0\}: [/mm] m<n [mm] \gdw [/mm] m*k < n*k

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo zusammen,

Seit einiger Zeit befasse ich mich mit der scheinbar einfachen Aufgabe, komme aber auf keinen grünen Zweig.
den ersten Teil habe ich über einen indirekten Beweis und auf Grundlage der Definition der Multiplikation gelöst. In der letzten Zeile steht dann bei mir:

m*n=0 [mm] \Rightarrow [/mm] m=0 [mm] \vee [/mm] n=0

Ich hoffe, dass das als Beweis reicht.
Bei den anderen beiden frage ich mich, wie viel und was genau ich schreiben muss, damit man sagen kann es reicht. Beim zweiten habe ich es bei der Rückrichtung versucht mit Induktion nach k. Und bei der Hinrichtung über die Definition der Transitivität.

Ich wäre total dankbar für die Mithilfe

        
Bezug
Beweis von Ungleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:27 Do 21.10.2010
Autor: felixf

Moin!

> Zu beweisen ist die Verträglichkeit einer Ordnung mit
> Addition und Multiplikation:
>  - m,n>0 [mm]\Rightarrow[/mm] m*n>0
>  - [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm] : m<n [mm]\gdw[/mm] m+k < n+k
>  - [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN \backslash \{0\}:[/mm] m<n [mm]\gdw[/mm] m*k < n*k
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo zusammen,
>  
> Seit einiger Zeit befasse ich mich mit der scheinbar
> einfachen Aufgabe, komme aber auf keinen grünen Zweig.

Nun, wie sind $>$, $+$ und [mm] $\cdot$ [/mm] denn definiert? In welchem Ring/Koerper befinden wir uns?

Das musst du schon dabei sagen, ansonsten kann man dazu nix sagen.
Bezug
                
Bezug
Beweis von Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Fr 22.10.2010
Autor: Jacky321

< ist definiert in einer Totalordnung auf [mm] \IN [/mm]
Die Addition ist n+0:=n
n+ (Nachfolger von)m = (Nachfolger von) m+n
Die Multiplikation ist definiert  mit n*0:=0
n*(Nachfolger von)m := n*m+n
[mm] \forall [/mm] m,n aus [mm] \IN [/mm]

Sorry,ich weiß mit der Bezeichnung "Ring" nichts anzufangen. Wir betrachten gerade ausschließlich die natürlichen Zahlen.

Viele Grüße
Bezug
                        
Bezug
Beweis von Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Fr 22.10.2010
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

> < ist definiert in einer Totalordnung auf [mm]\IN[/mm]
>  Die Addition ist n+0:=n
> n+ (Nachfolger von)m = (Nachfolger von) m+n
>  Die Multiplikation ist definiert  mit n*0:=0
>  n*(Nachfolger von)m := n*m+n
> [mm]\forall[/mm] m,n aus [mm]\IN[/mm]
>  
> Sorry,ich weiß mit der Bezeichnung "Ring" nichts
> anzufangen. Wir betrachten gerade ausschließlich die
> natürlichen Zahlen.

Und die natürlichen Zahlen sind gerade eben ein spezieller MBRing, genauer gesagt, sogar ein kommutativer Ring.

Jetzt aber ein paar Tipps zu den Aufgaben:

1) zu zeigen: $ [mm] m,n>0\Rightarrow [/mm] m*n>0 $
Also: [mm] m*n=\overbrace{n+n+n+\ldots+n}^{\text{m-mal}} [/mm]
Weiter schaffst du schon.

2) $ [mm] \forall k\in\IN:m Hier musst du zwei Richtungen zeigen.
zu [mm] "\Rightarrow": [/mm]
m<n, also gibt es ein i mit m+i=n. Und es gilt generell n<n+k
Also m+i<n+k. un jetzt überlege mal, wie die Grösser-Relation auf [mm] \IN [/mm] definiert ist.
[mm] "\Leftarrow" [/mm] versuche mal selber

3) [mm] $\forall k\in\IN\backslash\{0\}:m "Rightarrow" m<n, also auch m+m+...+m<n+n+...+n
"Leftarrow" Wie war denn m*k und n*k definiert?

>  
> Viele Grüße

Marius

Bezug
                                
Bezug
Beweis von Ungleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:36 Fr 22.10.2010
Autor: felixf

Moin Marius!

> Und die natürlichen Zahlen sind gerade eben ein spezieller
> MBRing, genauer gesagt, sogar ein kommutativer Ring.

Nicht ganz, sie sind ein Halbring :) Die additiven Inversen fehlen (ausser fuer 0).

LG Felix

Bezug
                                        
Bezug
Beweis von Ungleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:38 Fr 22.10.2010
Autor: M.Rex

Hallo Felix

> Moin Marius!
>  
> > Und die natürlichen Zahlen sind gerade eben ein spezieller
> > MBRing, genauer gesagt, sogar ein kommutativer Ring.
>  
> Nicht ganz, sie sind ein Halbring :) Die additiven Inversen
> fehlen (ausser fuer 0).

Stimmt, da war doch was ;-) Aber immerhin kommutativ ;-)

>  
> LG Felix

Marius

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