Beweis vom Satz Mertens < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:10 Fr 05.12.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Sind $ [mm] \textstyle A=\sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] $ und $ [mm] \textstyle B=\sum_{k=0}^\infty b_k [/mm] $ konvergente Reihen, wobei mindestens eine der beiden absolut konvergiert, so konvergiert das Cauchy-Produkt $ [mm] \textstyle \sum_{k=0}^\infty c_k, [/mm] $ wobei $ [mm] \textstyle c_k=\sum_{j=0}^k a_j b_{k-j} [/mm] $ ist, gegen AB. |
Ich versuche den Beweis vom Satz von Mertens zu verstehen:
http://www.mathepedia.de/Satz_von_Mertens.aspx
[mm] S_n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n c_n, \sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] sei absolut konvergent, [mm] A_n= \sum_{k=0}^n a_k, B_n= \sum_{k=0}^n b_k
[/mm]
ZZ.: [mm] lim_{n->\infty} S_n [/mm] = A*B
-) [mm] AB=(A-A_n)B+ \sum_{k=0}^n a_k [/mm] B
-) [mm] S_n [/mm] = [mm] c_0 +..+c_n [/mm] = [mm] (a_0 b_0) [/mm] + [mm] (a_0 b_1 [/mm] + [mm] a_1 b_0)+...+(a_0b_n+..+a_n b_0)=a_0*(b_0+b_1+..b_n)+a_1(b_0+..b_{n-1}) [/mm] + ..+ [mm] a_n b_n [/mm]
= [mm] a_0 B_n [/mm] + [mm] a_1 B_{n-1}+ ..+a_n B_0
[/mm]
= [mm] \sum_{k=0}^n a_k B_{n-k}
[/mm]
Da [mm] \sum_{k=0}^\infty |a_k| [/mm] konvergiert, [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] so dass [mm] \forall n\ge [/mm] N: [mm] \sum_{k=N+1}^n |a_k| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] nach Cauchy-Kriterium.
Da [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] konvergiert, [mm] \exists N_1 \in \IN [/mm] so dass [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge N_1: |\sum_{k=0}^n a_k [/mm] - [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k|=|A_n [/mm] -A| < [mm] \epsilon
[/mm]
Da [mm] |B-B_{n-k}| [/mm] eine Nullfolge darstellt, die insbesondere konvergiert, ist sie beschränkt: [mm] \exists [/mm] L>0: [mm] |B-B_{n-k}| \le [/mm] L [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Wähle nun n [mm] \ge max(N_1, [/mm] N):
|AB - [mm] S_n| [/mm] = [mm] |(A-A_n)B+ \sum_{k=0}^n a_k (B-B_{n-k})| \le |(A-A_n)||B|+ \sum_{k=0}^n |a_k|| (B-B_{n-k})|< \epsilon [/mm] |B| + [mm] \sum_{k=0}^N |a_k| |B-B_{n-k}| [/mm] + [mm] \sum_{k=N+1}^n |a_k| |B-B_{n-k}| [/mm]
[mm] \le \epsilon [/mm] |B| + [mm] \sum_{k=0}^N |a_k| |B-B_{n-k}| [/mm] + L [mm] \sum_{k=N+1}^n |a_k| \le \epsilon [/mm] |B| + [mm] \sum_{k=0}^N |a_k| |B-B_{n-k}| [/mm] + L [mm] \epsilon
[/mm]
Nun verstehe ich das nicht wie man nun auf ein Maximum wie im Wikipedia-Artikel kommt und wie man weiterabschätzt.
Freu mich auf eure Hilfe,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 07.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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