Beweis vollst. Ind. < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei R ein Ring mit Einselement und seien x, y [mm] \in [/mm] R mit x*y=y*x. Zeigen Sie, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] x^{n}-y^{n}=(x-y)*\summe_{i=0}^{n-1}x^{n-1-i}*y^{i} [/mm] |
Ich habe angefangen und bin dann aber nicht weiter gekommen, also hier mein Ansatz:
IA:
n=0
[mm] x^{0}-y^{0}=0_{R}=0 [/mm] (Laut Definition, weil als Hinweis gegeben ist: Für n=0 steht rechts die "leere Summe". Man setze sie gleich [mm] 0_{R}.)
[/mm]
IV: Für ein bestimmtes n gilt
[mm] x^{n}-y^{n}=(x-y)*\summe_{i=0}^{n-1}x^{n-1-i}*y^{i}
[/mm]
IS:
[mm] x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)*\summe_{i=0}^{n}x^{n-i}*y^{i}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{n-1}(x-y)(x^{n-1-i}*y^{i})+(x-y)(x^{-1}*y^{n})
[/mm]
= [mm] x^{n}-y^{n}+(x^{-1}*y^{n}*x)-(x^{-1}*y^{n}*y)
[/mm]
= [mm] x^{n}-y^{n}+y^{n}-y^{n+1}*x^{-1}
[/mm]
= [mm] x^{n}-y^{n+1}*x^{-1}
[/mm]
Das sieht ja schon fast aus, wie das Ergebnis, aber ich komme an dem Punkt nicht weiter.
Hat jemand einen Tipp?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Sa 03.12.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Sei R ein Ring mit Einselement und seien x, y [mm]\in[/mm] R mit
> x*y=y*x. Zeigen Sie, dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]x^{n}-y^{n}=(x-y)*\summe_{i=0}^{n-1}x^{n-1-i}*y^{i}[/mm]
>
> Ich habe angefangen und bin dann aber nicht weiter
> gekommen, also hier mein Ansatz:
>
> IA:
>
> n=0
> [mm]x^{0}-y^{0}=0_{R}=0[/mm] (Laut Definition, weil als Hinweis
> gegeben ist: Für n=0 steht rechts die "leere Summe". Man
> setze sie gleich [mm]0_{R}.)[/mm]
>
> IV: Für ein bestimmtes n gilt
>
> [mm]x^{n}-y^{n}=(x-y)*\summe_{i=0}^{n-1}x^{n-1-i}*y^{i}[/mm]
>
> IS:
>
> [mm]x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)*\summe_{i=0}^{n}x^{n-i}*y^{i}[/mm]
Die folgende Gleichheit ist mir Suspekt. Insbesondere die rot markierten Exponenten.
> =[mm]\summe_{i=0}^{n-1}(x-y)(x^{\red{n-1-i}}*y^{i})+(x-y)(x^{\red{-1}}*y^{n})[/mm]
[mm]x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)*\summe_{i=0}^{n}x^{n-i}*y^{i}=(x-y)*\summe_{i=0}^{n-1}x^{n-i}*y^{i}+(x-y)*x^{n-n}*y^n=(x-y)*\summe_{i=0}^{n-1}x^{n\red{-1}-i\red{+1}}*y^{i}+(x-y)*x^{n-n}*y^n=...[/mm]
Ich habe das jetzt zwar nicht zu Ende gerechnet, aber da wird dein Fehler liegen.
> = [mm]x^{n}-y^{n}+(x^{-1}*y^{n}*x)-(x^{-1}*y^{n}*y)[/mm]
> = [mm]x^{n}-y^{n}+y^{n}-y^{n+1}*x^{-1}[/mm]
> = [mm]x^{n}-y^{n+1}*x^{-1}[/mm]
>
> Das sieht ja schon fast aus, wie das Ergebnis, aber ich
> komme an dem Punkt nicht weiter.
>
> Hat jemand einen Tipp?
Kannst ja mal sagen, ob du so zum richtigen Ergebnis gekommen bist.
Gruß
barsch
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