Beweis teilbar durch 8 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Eddi1279 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dss gilt: [mm] 9^{n} [/mm] - 1 ist durch 8 teilbar [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] |
Ich stehe mit der Rechnung total auf dem Schlauch.
Habe so begonnen:
[mm] 9^{n} [/mm] - 1 mod 8 [mm] \Rightarrow 8/9^{n}-1 [/mm] = m/a-b
a [mm] \equiv [/mm] b mod m und c [mm] \equiv [/mm] d mod m
a * c [mm] \equiv [/mm] b * d mod m
dann habe ich für c und d die umgekehrten Werte von a und b eingesetzt und k als Vorzeichenvariable eingefügt:
[mm] 9^{n} \equiv [/mm] 1 mod 8 [mm] \gdw [/mm] k * 1 [mm] \equiv [/mm] k * [mm] 9^{n} [/mm] mod m
[mm] 9^{n} [/mm] * k * 1 mod 8 [mm] \equiv [/mm] 1 * k * [mm] 9^{n} [/mm] mod 8
[mm] \Rightarrow 9^{n} [/mm] * k mod 8 [mm] \equiv 9^{n} [/mm] * k mod 8
Nun ergibt sich beidseitig die gleiche Aussage. Meine Frage nun, ist dies als Beweis für die Teilbarkeit durch 8 ausreichend?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Mo 24.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dss gilt: [mm]9^{n}[/mm] - 1 ist durch 8 teilbar
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> Ich stehe mit der Rechnung total auf dem
> Schlauch.
> Habe so begonnen:
> [mm]9^{n}[/mm] - 1 mod 8 [mm]\Rightarrow 8/9^{n}-1[/mm] = m/a-b
??? Was ist m, was a , was b ?
>
> a [mm]\equiv[/mm] b mod m und c [mm]\equiv[/mm] d mod m
> a * c [mm]\equiv[/mm] b * d mod m
>
> dann habe ich für c und d die umgekehrten Werte von a und
> b eingesetzt
Was soll das denn sein ?
> und k als Vorzeichenvariable eingefügt:
Hä ?
>
> [mm]9^{n} \equiv[/mm] 1 mod 8 [mm]\gdw[/mm] k * 1 [mm]\equiv[/mm] k * [mm]9^{n}[/mm] mod m
> [mm]9^{n}[/mm] * k * 1 mod 8 [mm]\equiv[/mm] 1 * k * [mm]9^{n}[/mm] mod 8
>
> [mm]\Rightarrow 9^{n}[/mm] * k mod 8 [mm]\equiv 9^{n}[/mm] * k mod 8
>
> Nun ergibt sich beidseitig die gleiche Aussage. Meine Frage
> nun, ist dies als Beweis für die Teilbarkeit durch 8
> ausreichend?
Für mich nicht !
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Du kennst sicher die Formel
[mm] \summe_{i=0}^{n-1}q^i= \bruch{q^n-1}{q-1} [/mm] für $q [mm] \ne [/mm] 1$
Multipliziere mit q-1 durch und setze q=9
FRED
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Hallo Eddi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Alternativ kannst Du das auch mittels vollständiger Induktion beweisen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Mo 24.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie, dss gilt: [mm]9^{n}[/mm] - 1 ist durch 8 teilbar
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> Ich stehe mit der Rechnung total auf dem
> Schlauch.
> Habe so begonnen:
> [mm]9^{n}[/mm] - 1 mod 8 [mm]\Rightarrow 8/9^{n}-1[/mm] = m/a-b
>
> a [mm]\equiv[/mm] b mod m und c [mm]\equiv[/mm] d mod m
> a * c [mm]\equiv[/mm] b * d mod m
>
> dann habe ich für c und d die umgekehrten Werte von a und
> b eingesetzt und k als Vorzeichenvariable eingefügt:
>
> [mm]9^{n} \equiv[/mm] 1 mod 8 [mm]\gdw[/mm] k * 1 [mm]\equiv[/mm] k * [mm]9^{n}[/mm] mod m
> [mm]9^{n}[/mm] * k * 1 mod 8 [mm]\equiv[/mm] 1 * k * [mm]9^{n}[/mm] mod 8
>
> [mm]\Rightarrow 9^{n}[/mm] * k mod 8 [mm]\equiv 9^{n}[/mm] * k mod 8
>
> Nun ergibt sich beidseitig die gleiche Aussage. Meine Frage
> nun, ist dies als Beweis für die Teilbarkeit durch 8
> ausreichend?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Wenn schon mit Modulo-Rechnung, dann so:
Es gilt [mm] 9\equiv1 [/mm] mod 8.
Daraus folgt [mm] 9^n\equiv 1^n\equiv [/mm] 1 mod 8.
Daraus folgt [mm] 9^n-1\equiv 1-1\equiv [/mm] 0 mod 8.
Gruß Abakus
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Hallo Eddi,
ich verstehe auch nicht, was Du da treibst und was das beweisen soll.
Eine weitere Alternative zu den schon vorgestellten ist schlicht die Anwendung der binomischen Formel für beliebige n.
Es ist [mm] -1+9^n=-1+(8+1)^n=-1+\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}8^k=-1+1+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n\\k}8^k=8*\summe_{k=1}^n\vektor{n\\k}8^{k-1}
[/mm]
Grüße
reverend
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