Beweis rekurrent transient < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Liebes Forum,
wie ich auch bereits in einem anderen Post erwähnte, beschäftige ich mich gerade mit Markow-Ketten und lese dazu das Kapitel 8 aus dem Rosanow Wahrscheinlichkeitstheorie. Nun sind die meisten Beweise einleuchtend. Allerdings kann ich einige Beweise auch nicht nachvollziehen und würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
Beweis aus Buch:
Einführung: Zustand [mm] \varepsilon{j} [/mm] ist von [mm] \varepsilon{i} [/mm] erreichbar, wenn die Übergangswahrscheinlichkeit [mm] p_{ij}(M)=\alpha>0 [/mm] mit [mm] M\in\IN. [/mm] Ist [mm] \varepsilon{i} [/mm] ein rekurrenter Zustand und ist [mm] \varepsilon{j} [/mm] von [mm] \varepsilon{i} [/mm] aus erreichbar, dann ist auch [mm] \varepsilon{i} [/mm] von [mm] \varepsilon{j} [/mm] aus erreichbar und es ist [mm] p_{ji}(N)=\beta>0 [/mm] mit [mm] N\in\IN.
[/mm]
(Dies ist einleuchtend, nun soll beweisen werden, dass [mm] \varepsilon{j} [/mm] dann auch rekurrent ist)
Aus [mm] P(n)=P^{n} [/mm] (P ist die Übergangsmatrix für n Schritte) folgt:
P(n+M+N)=P(N)P(n)P(M) (auch klar soweit)
Dann ergibt sich:
[mm] p_{ii}(n+M+N)\ge p_{ij}(M)p_{jj}(n)p_{ji}(N)=\alpha\beta p_{jj}(n)
[/mm]
[mm] p_{jj}(n+M+N)\ge p_{ji}(M)p_{ii}(n)p_{ij}(N)=\alpha\beta p_{ii}(n)
[/mm]
Diese Ungleichungen zeigen, dass die Reihen
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}p_{ii}(n) [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}p_{jj}(n)
[/mm]
entweder beide konvergieren oder beide divergieren.
!Diesen Schritt kann ich leider nicht nachvollziehen. Wie ergeben sich die beiden Ungleichungen? Und wieso zeigen die beiden Ungleichungen, dass die beiden Reihen entweder divergieren oder konvergieren? Der letzte Schritt ist dann wieder klar: Weil [mm] \varepsilon_{i} [/mm] rekurrent ist, divergiert die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}p_{ii}(n) [/mm] und dann divergiert nach obigem Beweis auch die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}p_{jj}(n) [/mm] und damit ist auch [mm] \varepsilon_{j} [/mm] rekurrent.
Über jede Hilfe bin ich wie immer sehr dankbar. Vielen Dank!
Viele Grüße!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Di 06.08.2013 | | Autor: | johnny23 |
Gibt es denn keinen, der weiterhelfen kann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Fr 09.08.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
