Beweis ok so ? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 Di 17.02.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Es sei [mm] f:]-1,1[ \to \IR [/mm] in 0 stetig mit f(0)=0 und [mm] g:]-1,1[ \to \IR [/mm] beschränkt.
Zeigen Sie: [mm] f \cdot g:]-1,1[ \to \IR [/mm] ist in 0 stetig. |
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Guten Morgen,
die Lösung dieser Aufgabe liegt mir vor und wird mit dem Epsilon-Delta-Kriterium durchgeführt.
Ich wollte diese Aufgabe so lösen:
Sei [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} f(x)=0 \Rightarrow f(0)=0 [/mm].
Sei [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} g(x)=a \Rightarrow g(0)=a [/mm].
Dann gilt [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} f \cdot g = \limes_{x\rightarrow\ 0} f(x) \cdot \limes_{x\rightarrow\ 0} g(x)=0 \cdot a = 0 [/mm]
Also ist [mm] f \cdot g [/mm] in 0 auch stetig.
Geht das so ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Susanne!
Du setzt hier stillschweigend die Stetigkeit der Funktion $g(x)_$ voraus, welche aber nicht gegeben ist.
Daher musst Du wohl (oder übel) ebenfalls auf das [mm] $\varepsilon/\delta$-Kriterium [/mm] zurückgreifen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:16 Di 17.02.2009 | | Autor: | SusanneK |
Guten Morgen Loddar,
vielen Dank für die schnelle Hilfe !
Danke, dann habe ich meinen Fehler verstanden.
LG, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Di 17.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Auf das $ [mm] \varepsilon/\delta [/mm] $-Kriterium muß man nicht zurückgreifen:
g ist beschränkt, also ex. c [mm] \ge [/mm] 0 mit : |g(x)| [mm] \le [/mm] c für x [mm] \in [/mm] [-1,1]
Für x [mm] \in [/mm] [-1,1] gilt dann:
|f(x)g(x)| [mm] \le [/mm] c|f(x)|.
Jetzt x--> 0.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Di 17.02.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Fred,
danke für den Tipp !!
Schön knapp und einleuchtend.
Danke, Susanne.
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