Beweis nicht ganz klar < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm]\pi-\lambda[/mm]-Satz von Dynkin:
Ist [mm]\mathcal P[/mm] ein [mm]\pi[/mm]-System (dh. [mm]\cap[/mm]-stabil) und [mm]\mathcal L\supset\mathcal P[/mm] ein [mm]\lambda[/mm]-System (Dynkinsystem), so gilt:
[mm]\mathcal L\supset\sigma(\mathcal P)[/mm] (die von [mm]\mathcal P[/mm] erzeugte [mm]\sigma[/mm]-Algebra) |
Hallo zusammen,
der sehr kurz gehaltene Beweis im Skript enthält 2 Teile:
Sei [mm]\lambda(\mathcal P)[/mm] das kleinste [mm]\lambda[/mm]-System, das [mm]\mathcal P[/mm] enthält.
1) Für [mm]A\in\lambda(\mathcal P)[/mm] ist [mm]\mathcal L_A:=\{B:A\cap B\in\lambda(\mathcal P)\}[/mm] ein [mm]\lambda[/mm]-System.
Das lässt sich schnell und leicht zeigen.
Doof wird es bei 2)
2) Für [mm]A\in\mathcal P[/mm] gilt [mm]\mathcal L_A\supset\mathcal P[/mm],
Bem.: Das ist mir klar
also [mm]\mathcal L_A\supset\lambda(\mathcal P)[/mm] usw.
Was dann folgt, ist ok, aber wieso dieses "also"?
Kann mir das bitte jemand erklären? Ist es gar so offensichtlich, dass ich den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe?
Danke vorab!
Gruß
schachuzipus
|
|
| |
|
> [mm]\pi-\lambda[/mm]-Satz von Dynkin:
>
> Ist [mm]\mathcal P[/mm] ein [mm]\pi[/mm]-System (dh. [mm]\cap[/mm]-stabil) und
> [mm]\mathcal L\supset\mathcal P[/mm] ein [mm]\lambda[/mm]-System
> (Dynkinsystem), so gilt:
>
> [mm]\mathcal L\supset\sigma(\mathcal P)[/mm] (die von [mm]\mathcal P[/mm]
> erzeugte [mm]\sigma[/mm]-Algebra)
>
>
> Hallo zusammen,
>
> der sehr kurz gehaltene Beweis im Skript enthält 2 Teile:
>
> Sei [mm]\lambda(\mathcal P)[/mm] das kleinste [mm]\lambda[/mm]-System, das
> [mm]\mathcal P[/mm] enthält.
>
> 1) Für [mm]A\in\lambda(\mathcal P)[/mm] ist [mm]\mathcal L_A:=\{B:A\cap B\in\lambda(\mathcal P)\}[/mm]
> ein [mm]\lambda[/mm]-System.
>
> Das lässt sich schnell und leicht zeigen.
>
> Doof wird es bei 2)
>
> 2) Für [mm]A\in\mathcal P[/mm] gilt [mm]\mathcal L_A\supset\mathcal P[/mm],
>
> Bem.: Das ist mir klar
>
> also [mm]\mathcal L_A\supset\lambda(\mathcal P)[/mm] usw.
>
> Was dann folgt, ist ok, aber wieso dieses "also"?
[mm] \mathcal L_A [/mm] ist nach 1) und 2) ein [mm] \lambda-System, [/mm] das [mm] \mathcal [/mm] P enthält.
Da [mm] \lambda(\mathcal [/mm] P) das kleinste [mm] \lambda-System [/mm] mit dieser Eigenschaft ist, folgt das "also..."
>
> Kann mir das bitte jemand erklären? Ist es gar so
> offensichtlich, dass ich den Wald vor lauter Bäumen nicht
> sehe?
>
> Danke vorab!
>
> Gruß
>
> schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo don,
danke soweit, aber eine kleine Rückfrage habe ich noch ...
> > 1) Für [mm]A\in\lambda(\mathcal P)[/mm] ist [mm]\mathcal L_A:=\{B:A\cap B\in\lambda(\mathcal P)\}[/mm]
> > ein [mm]\lambda[/mm]-System.
> >
> > Das lässt sich schnell und leicht zeigen.
> >
> > Doof wird es bei 2)
> >
> > 2) Für [mm]A\in\mathcal P[/mm] gilt [mm]\mathcal L_A\supset\mathcal P[/mm],
>
> >
> > Bem.: Das ist mir klar
> >
> > also [mm]\mathcal L_A\supset\lambda(\mathcal P)[/mm] usw.
> >
> > Was dann folgt, ist ok, aber wieso dieses "also"?
>
> [mm]\mathcal L_A[/mm] ist nach 1) und 2) ein [mm]\lambda-System,[/mm] das
> [mm]\mathcal[/mm] P enthält.
Ist denn auch nach 2) (also für [mm]A\in\mathcal P[/mm] dieses [mm]\mathcal L_A[/mm] ein [mm]\lambda[/mm]-System?
Wegen [mm]\mathcal P\subset \lambda(\mathcal P)[/mm] ?
> Da [mm]\lambda(\mathcal[/mm] P) das kleinste [mm]\lambda-System[/mm] mit
> dieser Eigenschaft ist, folgt das "also..."
Dann würde ich das einsehen 
Mir war (ist) nicht ganz klar, dass man auch in 2) ein [mm]\lambda[/mm]-System hat...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
So ganz klar ist mir jetzt nicht, wo das Problem liegt. Wir haben
[mm] A\in\mathcal P\Rightarrow A\in\lambda(\mathcal [/mm] P) (nach Definition von [mm] \lambda(\mathcal [/mm] P))
[mm] \Rightarrow \mathcal L_A [/mm] ist [mm]\lambda[/mm]-System nach 1) und [mm] \mathcal L_A\supset\mathcal [/mm] P nach 2)
[mm] \Rightarrow \mathcal L_A\supset\lambda(\mathcal [/mm] P) wieder nach Definition von [mm] \lambda(\mathcal [/mm] P)
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal und danke an den don
Eine letzte Frage noch:
Im weiteren wird nonchalant gesagt, dass für [mm]B\in\lambda(\mathcal P)[/mm] offensichtlich [mm]\mathcal P\subset\mathcal L_B[/mm] ist.
Es ist aber doch lediglich [mm]\mathcal P[/mm] schnittstabil, wieso sollte dann für [mm]P\in\mathcal P[/mm] und [mm]B\in\lambda(\mathcal P), B\notin\mathcal P[/mm] der Schnitt [mm]P\cap B\in\red{\lambda}(\mathcal P)[/mm] sein?
Wenn das noch jemand (er-)klären könnte, würde er/sie mein Wochenende signifikant versüßen
Danke!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
>
> Hallo nochmal und danke an den don
>
> Eine letzte Frage noch:
>
> Im weiteren wird nonchalant gesagt, dass für
> [mm]B\in\lambda(\mathcal P)[/mm] offensichtlich [mm]\mathcal P\subset\mathcal L_B[/mm]
> ist.
>
> Es ist aber doch lediglich [mm]\mathcal P[/mm] schnittstabil, wieso
> sollte dann für [mm]P\in\mathcal P[/mm] und [mm]B\in\lambda(\mathcal P), B\notin\mathcal P[/mm]
> der Schnitt [mm]P\cap B\in\red{\lambda}(\mathcal P)[/mm] sein?
Nach dem vorher gezeigten gilt für [mm] A\in\mathcal{P} [/mm] (A entspricht hier deinem P)
[mm] \lambda(\mathcal{P})\subset L_A
[/mm]
Nach Defintion von [mm] L_A [/mm] folgt daraus [mm] B\cap A\in\lambda(\mathcal{P}) [/mm] für beliebiges [mm] B\in\lambda(\mathcal{P})
[/mm]
>
> Wenn das noch jemand (er-)klären könnte, würde er/sie
> mein Wochenende signifikant versüßen
>
> Danke!
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
|
|
|
|
