Beweis n^3\le3^n < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:12 Mo 14.06.2010 | | Autor: | pestaiia |
| Aufgabe | | Man zeige [mm] n^3\le3^n [/mm] für alle [mm] n\ge0, n\in \IN [/mm] |
Hallo!
Mir leuchtet ein dass das so ist. Sieht man ja wenn man einfach ein paar Werte einsetzt. Aber wie beweis ich das? Mit dem Indunktionsbeweis oder geht das auch anders. Hat jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man zeige [mm]n^3\le3^n[/mm] für alle [mm]n\ge0, n\in \IN[/mm]
> Hallo!
> Mir leuchtet ein dass das so ist. Sieht man ja wenn man
> einfach ein paar Werte einsetzt. Aber wie beweis ich das?
> Mit dem Indunktionsbeweis oder geht das auch anders. Hat
> jemand eine Idee?
Induktion:
Für $n=0$ ist die Behauptung klar. Gilt die Ungleichung [mm] $n^3 \le 3^n$ [/mm] nun für ein $n [mm] \in \IN$, [/mm] so folgt mit der I.V.
[mm] $$(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 \le 3^n+3n^2+3n+1\,.$$
[/mm]
Da man [mm] $(n+1)^3 \le 3^{n+1}=3*3^n$ [/mm] erhalten möchte, ist es daher sinnvoll, nun noch
[mm] $$3n^2+3n+1 \le 2*3^n$$
[/mm]
nachzuweisen. Dies wird Dir nur für $n [mm] \ge [/mm] 3$ gelingen, daher:
Rechne [mm] $n^3 \le 3^n$ [/mm] für [mm] $n=0,\ldots,3$ [/mm] nach. Ist nun $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 3$ (wichtige Zusatzforderung im Induktionsschritt) so, dass [mm] $n^3 \le 3^n$, [/mm] so mache dann den Induktionsschritt weiter wie oben. Wichtig dabei ist dann, dass Du (irgendwo) nochmal zeigst, dass [mm] $3n^2+3n+1 \le 2*3^n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN_{\ge 3}=\{n \in \IN: n \ge 3\}$ [/mm] gilt. (Z.B. wieder per Induktion!)
P.S.:
Es geht natürlich auch anders (ohne Induktion), indem man $f:x [mm] \mapsto f(x):=3^x-x^3$ [/mm] betrachtet. Diese Funktion hat an den Stelle $x=0,$ [mm] $x=1\,$ [/mm] und $x=2$ Funktionswerte [mm] $\ge [/mm] 0,$ und ist streng monoton wachsend auf [mm] $[3,\infty)$ [/mm] (Nachweis?) und es gilt $f(3) [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Aber ich denke, dass es bei Euch darum geht, Induktion zu üben und dieses Verfahren mithilfe von Funktionen nicht gewünscht ist (insbesondere dann, wenn man Diff'barkeit, Extremstellen etc. von Funktionen in der Vorlesung noch nicht behandelt hat).
Beste Grüße,
Marcel
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