Beweis mittes Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Di 14.11.2006 | | Autor: | fabe.b |
| Aufgabe | | Beweisen Sie mittels Vektoren, dass alle Höhen in einem allgemeinen Dreieck sich in einem Punkt schneiden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir jemand sagen, wie ich das beweisen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Di 14.11.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo fabe.b,
hoffentlich gibt es noch einen einfacheren Weg. Mir fällt spontan nur folgendes ein:
- stelle die Höhen vektoriell dar.
Bestimme dazu die Ebene, in der das Dreieck liegt. In dieser Ebene bestimme jeweils einen Vektor, der senkrecht zu den Dreiecksseiten liegt. Dann hast Du diese als Richtungsvektoren für drei Geraden. Als Stützvektoren kannst Du die Eckpunkte des Dreiecks nehmen.
- Zeige nun, dass die drei Geraden sich in einem Punkt schneiden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mi 15.11.2006 | | Autor: | chrisno |
Naja, dann habe ich mir überlegt, dass das koordinatenfrei laufen sollte. Ein Dreieck ist durch zwei Vektoren gegeben. die dritte Seite ergibt sich als Differenz der beiden.
Eine Höhe [mm] $\vec{h}$ [/mm] steht senkrecht auf einer Seite und lässt sich als Linearkombination der beiden anderen Seiten ausdrücken.
[mm] $\vec{h} [/mm] * [mm] (\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b}) [/mm] = 0$ und [mm] $\vec{h} [/mm] = [mm] \lambda \vec{a} [/mm] + [mm] \mu \vec{b}$
[/mm]
Das muß man für alle drei Seiten hinschreiben und dann feststellen, dass die Schnittpunkte paarweise immer die selben Koeffizienten in der Linearkombination bekommen.
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