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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Beweis mit Unterräumen

Beweis mit Unterräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Beweis mit Unterräumen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	18:04 Mi 18.11.2009
Autor:	p-bot

Aufgabe

 [mm] U_1, U_2 [/mm] und [mm] U_3 [/mm] sind Unterräume eines Vektorraums V. Beweisen Sie.

[mm] (U_1 [/mm] + [mm] U_2) \cap U_3 [/mm] = [mm] U_1 [/mm] + [mm] (U_2\cup U_3) \gdw  U_1 \subseteq U_3. [/mm]

Wie könnte man dies lösen?... Muss man 2 Bewise machen ...also von links nach rechts und umgekehrt? Ich denke schon. Habe leider keinen Ansatz. Reicht es aus die Glecihung links vom Äquivalenzpfeil zu beweisen, denn dies wäre ziemlich einfach.

# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

Beweis mit Unterräumen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:24 Mi 18.11.2009
Autor:	angela.h.b.

> [mm]U_1, U_2[/mm] und [mm]U_3[/mm] sind Unterräume eines Vektorraums V.
> Beweisen Sie.
>
> [mm](U_1[/mm] + [mm]U_2) \cap U_3[/mm] = [mm]U_1[/mm] + [mm](U_2\cup U_3) \gdw U_1 \subseteq U_3.[/mm]
>
> Wie könnte man dies lösen?... Muss man 2 Bewise machen
> ...also von links nach rechts und umgekehrt? Ich denke
> schon. Habe leider keinen Ansatz. Reicht es aus die
> Glecihung links vom Äquivalenzpfeil zu beweisen, denn dies
> wäre ziemlich einfach.

Hallo,

[willkommenmr]

.

Ja, Du mußt zwei Beweise machen:

1.  [mm](U_1[/mm] + [mm]U_2) \cap U_3[/mm] = [mm]U_1[/mm] + [mm](U_2\cup U_3) ==> U_1 \subseteq U_3.[/mm]

2. [mm] U_1 \subseteq U_3 [/mm] ==> [mm](U_1[/mm] + [mm]U_2) \cap U_3[/mm] = [mm]U_1[/mm] [mm] +(U_2\cup U_3) [/mm]

Die 2. dürfte sehr leicht sein.

Für die 1. mußt Du ja zeigen, daß unter der Voraussetzung [mm] (U_1[/mm] [/mm] + [mm]U_2) \cap U_3[/mm] = [mm]U_1[/mm] + [mm][mm] (U_2\cup U_3) [/mm]  gilt:

[mm] x\in U_1 [/mm] ==> [mm] x\in U_3. [/mm]

Nimm Dir also [mm] x\in U_1 [/mm] her  und überlege mithilfe der Voraussetzung, warum dieses x auch in [mm] U_3 [/mm] ist.

Gruß v. Angela